Question

5．已知⊙O的方程為x²+y²=4，A（1，1），B（-2，6）．
（1）若點P為⊙O上動點，求|PA|²+|PB|²的最大值；
（2）直線l過點A，被⊙O截得弦長為2$\sqrt{3}$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）表示出|PA|²+|PB|²，利用圓的參數(shù)方程，即可求|PA|²+|PB|²的最大值；
（2）直線l過點A，被⊙O截得弦長為2$\sqrt{3}$，圓心到直線的距離為1，分類討論，求直線l的方程．

解答 解：（1）設P（x，y），則|PA|²+|PB|²=（x-1）²+（y-1）²+（x+2）²+（y-6）²=50+2x-14y，
設x=2cosα，y=2sinα，則|PA|²+|PB|²=50+4cosα-28sinα=50+20$\sqrt{2}$sin（α+θ），
∴|PA|²+|PB|²的最大值為50+20$\sqrt{2}$；
（2）直線l過點A，被⊙O截得弦長為2$\sqrt{3}$，圓心到直線的距離為1，
斜率不存在時，直線x=1滿足題意；
斜率存在時，設方程為y-1=k（x-1），即kx-y-k+1=0，
∴圓心到直線的距離為$\frac{|-k+1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，∴k=0，直線l的方程為y=1
綜上所述，直線l的方程為y=1或x=1．

點評 本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關系，考查分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．