Question

4．已知定義在R上的二次函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，且滿足f（1）=6，f（3）=2．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）在區(qū)間[a，b]上值域?yàn)閇2a，2b]，試求所有符合題意的[a，b]．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性設(shè)出函數(shù)的表達(dá)式，根據(jù)f（1）=6，f（3）=2，得到關(guān)于a，c的方程組，解出即可；
（2）二次函數(shù)f（x）是開(kāi)口朝下，且以y軸為對(duì)稱軸的拋物線，分類討論給定區(qū)間與對(duì)稱軸的關(guān)系，綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答 解：（1）∵二次函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，
∴設(shè)f（x）=ax²+c，滿足f（1）=6，f（3）=2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=a+c=6}\\{f（3）=9a+c=2}\end{array}\right.$，解得：a=-$\frac{1}{2}$，b=$\frac{13}{2}$，
∴f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{13}{2}$；
（2）二次函數(shù)f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{13}{2}$是開(kāi)口朝下，且以y軸為對(duì)稱軸的拋物線，
當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)取最大值$\frac{13}{2}$，
若a＜b≤0，則 $\left\{\begin{array}{l}{-{\frac{1}{2}a}^{2}+\frac{13}{2}=2a}\\{-{\frac{1}{2}b}^{2}+\frac{13}{2}=2b}\end{array}\right.$，不存在滿足條件的a，b；
若0≤a＜b，則 $\left\{\begin{array}{l}{-{\frac{1}{2}a}^{2}+\frac{13}{2}=2b}\\{-{\frac{1}{2}b}^{2}+\frac{13}{2}=2a}\end{array}\right.$不存在滿足條件的a，b；
若a＜0＜b，則2b=$\frac{13}{2}$，解得：b=$\frac{13}{4}$，$\left\{\begin{array}{l}{-{\frac{1}{2}a}^{2}+\frac{13}{2}=2a}\\{a＜0}\end{array}\right.$，
解得：a=-2-$\sqrt{17}$，
綜上可得：a=-2-$\sqrt{17}$，b=$\frac{13}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．