Question

已知數(shù)列{a_n}中，S_n是它的前n項和，且S_n+1=4a_n+2，a₁=1（n∈N^*）．
（1）設(shè)b_n=a_n+1-2a_n，求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（2）設(shè)c_n=

an

2n

，求證：數(shù)列{c_n}為等差數(shù)列，并求{c_n}的通項公式；
（3）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n及其前5項和S₅．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）當n=1時，S₂=a₁+a₂=4a₁+2，解得a₂．由S_n+1=4a_n+2，a₁=1（n∈N^*）．當n≥2時，a_n+1=S_n+1-S_n，化為a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1），利用等比數(shù)列的通項公式即可得出．
（2）由c_n+1-c_n=

an+1

2n+1

-

an

2n

=

an+1-2an

2n+1

，即可證明．
（3）由（2）可得an=2n•cn=（3n-1）•2^n-2．分別取n=3，4，5即可得出．

解答： （1）解：當n=1時，S₂=a₁+a₂=4a₁+2，解得a₂=5．
∵S_n+1=4a_n+2，a₁=1（n∈N^*）．
∴當n≥2時，a_n+1=S_n+1-S_n=4a_n+2-（4a_n-1+2），
化為a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1），
∴b_n=2b_n-1．
b₁=a₂-2a₁=3．
∴數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，b_n=3•2^n-1．
（2）證明：c_n+1-c_n=

an+1

2n+1

-

an

2n

=

an+1-2an

2n+1

=

3•2n-1

2n+1

=

3

4

，
∴數(shù)列{c_n}為等差數(shù)列，c₁=

a1

2

=

1

2

．
∴c_n=

1

2

+

3

4

(n-1)=

3n-1

4

．
（3）解：由（2）可得an=2n•cn=（3n-1）•2^n-2．
∴a₁=1，a₂=5，a₃=16，a₄=44，a₅=112．
∴S₅=1+5+16+44+112=178．

點評：本題考查了遞推式的意義、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式，考查了變形能力，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．