Question

已知函數(shù)f（x）=3^x，f（a+2）=18，g（x）=3^ax-4^x．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）若m^a=1，求g（m）的值；
（3）求g（x）在[-2，0]上的值域．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)指數(shù)對數(shù)的運算法則，結合f（x）的表達式可算出a=log₃2；
（2）由m^a=1得2^m=3，根據(jù)g（x）的表達式得到g（m）=3^am-4^m=（3^a）^m-（2^m）²，再結合（1）中的結論可得g（m）=3-3²=-6；
（3）根據(jù)題意得g（x）=2^x-4^x．設2^x=t，然后由-2≤x≤0得

1

4

≤t≤1，結合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求出g（x）在[-2，0]上的值域．

解答：解：（1）∵f（x）=3^x，
∴f（a+2）=3^a+2=18，即3^a×3²=18，可得3^a=2，
∴a=log₃2…（4分）；
（2）∵m^a=1，∴m=log₂3，可得2^m=3，…（6分）
∵g（x）=3^ax-4^x，
∴g（m）=3^am-4^m=（3^a）^m-（2^m）²
=2^m-（2^m）²=3-3²=-6；…（8分）
（3）由（1）3^a=2，可得y=g（x）=3^ax-4^x=2^x-4^x，
令2^x=t，（-2≤x≤0），
∵

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4

≤t≤1，…（9分）
∴y=t-t2=-(t-

1

2

)2+

1

4

，
當t=

1

2

時，ymax=

1

4

，當t=1時，y_min=0，…（11分）
∴g（x）的值域為[0，

1

4

]…（12分）

點評：本題給出含有指數(shù)式的二次函數(shù)類型，求函數(shù)在閉區(qū)間上的值域．著重考查了指數(shù)對數(shù)的運算法則、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域求法等知識，屬于中檔題．