Question

提高過(guò)江大橋的車(chē)輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況，在一般情況下，大橋上的車(chē)流速度（單位：千米/小時(shí)）是車(chē)流密度x（單位：輛/千米）的函數(shù)，當(dāng)橋上的車(chē)流密度達(dá)到200輛/千米時(shí)，造成堵塞，此時(shí)車(chē)流速度為0；當(dāng)車(chē)流密度不超過(guò)20輛/千米時(shí)，車(chē)流速度為60千米/小時(shí)，研究表明：當(dāng)20≤≤200時(shí)，車(chē)流速度是車(chē)流密度的一次函數(shù)．

（Ⅰ）當(dāng)0≤≤200時(shí)，求函數(shù)的表達(dá)式；

（Ⅱ）當(dāng)車(chē)流密度為多大時(shí)，車(chē)流量（單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)橋上某觀測(cè)點(diǎn)的車(chē)輛數(shù)，單位：輛/小時(shí)可以達(dá)到最大，并求出最大值．（精確到1輛/小時(shí)）．

 

Answer 1

（1）當(dāng)車(chē)流密度為100輛/千米時(shí)，車(chē)流量可以達(dá)到最大值，最大值約為3333輛/小時(shí)．

【解析】

試題分析：（1）利用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，應(yīng)先仔細(xì)閱讀題目信息，理解題意，明確其中的數(shù)量關(guān)系，并引入變量，依題意列出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，然后利用基本不等式求解；（2）在求所列函數(shù)的最值時(shí)，若用基本不等式時(shí)，等號(hào)取不到時(shí)，可利用函數(shù)的單調(diào)性求解；（3）基本不等式具有將“和式”轉(zhuǎn)化為“積式”和將“積式”轉(zhuǎn)化為“和式”的放縮功能，常常用于比較數(shù)的大小或證明不等式，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是分析不等式兩邊的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，選擇好利用基本不等式的切入點(diǎn).

試題解析：【解析】
（Ⅰ） 由題意：當(dāng)時(shí)，=60；當(dāng)時(shí)，設(shè)

再由已知得，解得

故函數(shù)的表達(dá)式為

（Ⅱ）依題并由（Ⅰ）可得

當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，其最大值為60×20=1200

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)且僅當(dāng)x=200﹣x，即x=100時(shí)，等號(hào)成立．

所以，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上取得最大值

綜上所述，當(dāng)，在區(qū)間上取得最大值

即當(dāng)車(chē)流密度為100輛/千米時(shí)，車(chē)流量可以達(dá)到最大值，最大值約為3333輛/小時(shí)．

答：（Ⅰ） 函數(shù)的表達(dá)式

（Ⅱ） 當(dāng)車(chē)流密度為100輛/千米時(shí)，車(chē)流量可以達(dá)到最大值，最大值約為3333輛/小時(shí)．

考點(diǎn)：（1）由題意列函數(shù)關(guān)系式；（2）利用基本不等式求最值.