Question

16．在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，2a_na_n+1+a_n+1-a_n=0（n∈N^*）．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}為等差數(shù)列，并求{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若ta_n+1（a_n-1）+1≥0對任意n≥2的整數(shù)恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）已知等式兩邊同除a_na_n+1化簡后，根據(jù)等差數(shù)列的定義可證數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}為等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項公式求出{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）和分離常數(shù)法化簡不等式，利用作差法判斷數(shù)列的單調(diào)性，再求出t的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）由題意得，2a_na_n+1+a_n+1-a_n=0，
兩邊同除a_na_n+1得，$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}$=2，
∵a₁=1，∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1為首項、2為公差的等差數(shù)列，
則$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+2（n-1）=2n-1，
∴a_n=$\frac{1}{2n-1}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，ta_n+1（a_n-1）+1≥0為t•$\frac{1}{2n+1}$（$\frac{1}{2n-1}$-1）+1≥0，
由n≥2化簡得，t≤$\frac{（2n-1）（2n+1）}{2（n-1）}$，
設(shè)b_n=$\frac{（2n-1）（2n+1）}{2（n-1）}$，
則b_n+1-b_n=$\frac{（2n+1）（2n+3）}{2n}$-$\frac{（2n-1）（2n+1）}{2（n-1）}$
=$\frac{2n+1}{2}•\frac{（2n+3）（n-1）-n（2n-1）}{n（n-1）}$=$\frac{（2n+1）（2n-3）}{2n（n-1）}$＞0，
∴當(dāng)n≥2時，數(shù)列{b_n}是遞增數(shù)列，則$\frac{（2n-1）（2n+1）}{2（n-1）}$≥$\frac{15}{2}$，
∴實數(shù)t的取值范圍是（-∞，$\frac{15}{2}$]．

點評 本題考查等差數(shù)列的定義、通項公式，數(shù)列的遞推式的化簡與應(yīng)用，數(shù)列單調(diào)性的判斷方法等，屬于中檔題．