Question

已知函數(shù)f（x）=x+

1

x

，
（1）判斷f（x）在區(qū)間（1，+∞）上的單調(diào)性，并用定義證明；
（2）當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，寫出函數(shù)f（x）=x+

1

x

的單調(diào)區(qū)間（不必證明）．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）用定義證明函數(shù)的單調(diào)性，先設(shè)給定區(qū)間內(nèi)任意兩個(gè)自變量x₁，x₂，設(shè)出x₁，x₂的大小關(guān)系，再計(jì)算f（ x₁）-f（ x₂），作差后，把差化簡(jiǎn)為幾個(gè)因式的乘積的形式，比較每個(gè)因式與0的大小，就可得到f（ x₁）與f（ x₂）的大小關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義判斷函數(shù)的單調(diào)性．
（2）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．

解答： 解：（1）f（x）在區(qū)間（1，+∞）上的單調(diào)遞減，
設(shè)x₁，x₂∈（1，+∞），且設(shè)x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=x₁+

1

x1

-x₂-

1

x2

=

(x1-x2)(x1x2-1)

x1x2

，
∵x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁•x₂＞1，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x）在區(qū)間（1，+∞）上的單調(diào)遞減．
（2）∵f（x）=x+

1

x

，
∴f′（x）=1-

1

x2

=

x2-1

x2

，
令f′（x）=0，
解得x=1或x=-1，
∴函數(shù)f（x）在（-∞，-1）上單調(diào)遞增，在（-1，0）上單調(diào)遞減

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性的定義證明和利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，屬于基礎(chǔ)題．