Question

4．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{x}$+alnx-1，a∈R．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若對任意的x＞0，f（x）≥0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）求出f（x）_min=f（$\frac{1}{a}$）=a-alna-1，問題轉(zhuǎn)化為a-alna-1≥0恒成立即可，令g（a）=a-alna-1，（a＞0），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{1}{x}$+alnx-1的定義域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{ax-1}{{x}^{2}}$，
a≤0時，f′（x）＜0，f（x）遞減，
a＞0時，令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{a}$，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{1}{a}$，
∴f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）遞減，在（$\frac{1}{a}$，+∞）遞增；
（2）由（1）得，a≤0時，f（x）遞減，不合題意，
a＞0時，f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）遞減，在（$\frac{1}{a}$，+∞）遞增，
∴f（x）_min=f（$\frac{1}{a}$）=a-alna-1，
若對任意的x＞0，f（x）≥0恒成立
只需a-alna-1≥0恒成立即可，
令g（a）=a-alna-1，（a＞0），
g′（a）=-lna，
令g′（a）＞0，解得：0＜a＜1，
令g′（a）＜0，解得：a＞1，
∴g（a）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減，
∴g（a）_max=g（1）=0，
故a=1時，f（x）≥0恒成立，
故a∈{1}．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．