Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，P，Q，R分別是棱BC，CD，DD₁的中點．下列命題：
①過A₁C₁且與CD₁平行的平面有且只有一個；
②平面PQR截正方體所得截面圖形是等腰梯形；
③AC₁與QR所成的角為60°；
④線段EF與GH分別在棱A₁B₁和CC₁上運動，且EF+GH=1，則三棱錐E-FGH體積的最大值是

1

12

；
⑤線段MN是該正方體內(nèi)切球的一條直徑，點O在正方體表面上運動，則

OM

•

ON

的取值范圍是[0，2]．
其中真命題的序號是

 

 （寫出所有真命題的序號）．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：空間位置關系與距離

分析：①轉(zhuǎn)化為A₁B，A₁C₁相交，確定一個平面處理，②可利用補形法，在右側(cè)補充一個正方體，延長或平移，可得截面，③利用三垂線定理可證兩線垂直，④利用轉(zhuǎn)化法求解相應體積，可得V_{三棱錐E-FGH}=V_{三棱錐G-EFC1}-V_{三棱錐H-EFC1}，⑤建立空間直角坐標系，利用向量求解．

解答： 解：①CD₁∥A₁B，A₁B∩A₁C₁=A₁，則過A₁B，A₁C₁有且只有一個平面，所以過A₁C₁且與CD₁平行的平面有且只有一個，①正確，
②做RM平行PQ，交BB1于M；做PN平行于QR，交A₁D₁于NPQRMN這五點所構(gòu)成的五邊形即為截面，②錯誤；
③連結(jié)AC₁，DC₁，則，DC_1^為AC₁在平面DC₁，內(nèi)的射影，DC₁⊥RQ，由三垂線定理可知AC₁⊥QR，所成的角為90°，③錯誤；
④設G在H上方，則V_{三棱錐E-FGH}=V_{三棱錐G-EFC1}-V_{三棱錐H-EFC1}=

1

3

×EF×GC₁-

1

3

×EF×HC₁=

1

3

×EF×GH，而EF+GH=1，則EF×GH的最大值=

1

4

，④正確；
⑤以D₁為坐標原點，以D₁A₁，D₁C₁，D₁D所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，設正方體內(nèi)切球球心為S，MN是該內(nèi)切球的任意一條直徑，則

OM

•

ON

=（

OS

+

SM

）•（

OS

+

SN

）=（

OS

+

SM

）•（

OS

-

SM

）=

OS

²-1∈[0，2]，⑤正確．
故答案為：①④⑤．

點評：本題以正方體為載體，綜合考查線面、面面位置關系，考查線面角、面面角，解題時需要一一進行驗證，很容易出錯．