Question

（本小題滿分14分） 

設是定義在上的偶函數(shù)，又的圖象與函數(shù)的圖象關于直線對稱，且當時，．

（１）求的表達式；

（２）是否存在正實數(shù)，使的圖象最低點在直線上？若存在，求出；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）使的圖象最低點在直線上.

【解析】（1）當時，

上的關于直線對稱的點為，    …………………2分

此時，代入，

得                  ………………………………5分

在上是偶函數(shù)，時， 

即                   ……………………………6分

（2）命題轉化為：是否存在正實數(shù)，使的最小值是.         

在上是偶函數(shù)，只要考慮即可. ………………………………8分

，令.       ………………………………9分

（i）當時，，且 ，，

由此可知，，         

解得，矛盾.                       ………………………………11分

（ii）當時，，此時，是[0，1]上減函數(shù)，

所以            ………………………………13分

綜上可知，使的圖象最低點在直線上.   …………………14分