Question

在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線(xiàn)C₁的參數(shù)方程為

x=2cosα y=3sinα

（α為參數(shù)）．M是C₁上的動(dòng)點(diǎn)，N點(diǎn)滿(mǎn)足

ON

=2

OM

，N點(diǎn)的軌跡為曲線(xiàn)C₂
（1）求C₂的方程；
（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)C₂的極坐標(biāo)方程式ρ=2，正三角形ABC的頂點(diǎn)都在C₂上，且A，B，C依逆時(shí)針次序排列，點(diǎn)A的極坐標(biāo)為（2，

π

6

），設(shè)P是C₂上任意一點(diǎn)，求|PA|²+|PB|²+|PC|²的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程

專(zhuān)題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（1）設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（x，y），根據(jù)題意，用x、y表示出點(diǎn)M的坐標(biāo)，然后根據(jù)M是C₁上的動(dòng)點(diǎn)，代入求出C₂的參數(shù)方程即可；
（2）分別求出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)P（4cosα，6sinα），令S=|PA|²+|PB|²+|PC|²，表示出S，求出S的取值范圍即可．

解答：解：（1）設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（x，y），
則由

ON

=2

OM

，可得點(diǎn)M的坐標(biāo)為（

x

2

，

y

2

），
根據(jù)M是C₁上的動(dòng)點(diǎn)，可得

x 2 =2cosα y 2 =3sinα

，
故C₂的參數(shù)方程為

x=4cosα y=6sinα

 （α為參數(shù)）；
（2）由已知可得A（2cos

π

6

，2sin

π

6

），B(2cos(

π

6

+

2π

3

)，2sin(

π

6

+

2π

3

))，
C(2cos(

π

6

+

4π

3

)，2sin(

π

6

+

4π

3

))，
即A（

3

，1），B（-

3

，1），C（0，-2）；
設(shè)P（4cosα，6sinα），令S=|PA|²+|PB|²+|PC|²，
則S=60+60sin²α，
因?yàn)?≤sin²α≤1，
所以S的取值范圍是[60，120]，
即|PA|²+|PB|²+|PC|²的取值范圍是[60，120]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了軌跡方程的求解，考查代入法，屬于中檔題．