Question

【題目】已知集合M是具有下列性質(zhì)的函數(shù)的全體:存在實(shí)數(shù)對(duì),使得對(duì)定義域內(nèi)任意實(shí)數(shù)x都成立.

（1）判斷函數(shù),是否屬于集合;

（2）若函數(shù)具有反函數(shù),是否存在相同的實(shí)數(shù)對(duì),使得與同時(shí)屬于集合若存在,求出相應(yīng)的;若不存在,說(shuō)明理由;

（3）若定義域?yàn)?/span>的函數(shù)屬于集合,且存在滿足有序?qū)崝?shù)對(duì)和;當(dāng)時(shí),的值域?yàn)?/span>,求當(dāng)時(shí)函數(shù)的值域.

Answer 1

【答案】（1）（2）不存在實(shí)數(shù)對(duì),使得與同時(shí)屬于集合M.見解析（3）

【解析】

（1）根據(jù)已知中集合的定義,分別判斷兩個(gè)函數(shù)是否滿足條件,即可求得答案;

（2）假定,求出相應(yīng)的值,得到矛盾,即可求得答案;

（3）利用題中的新定義,列出兩個(gè)等式恒成立;將x用代替,兩等式結(jié)合得到函數(shù)值的遞推關(guān)系;用不完全歸納的方法求出值域.

（1）當(dāng)時(shí),

,其值不為常數(shù),

故,

當(dāng)時(shí),,

當(dāng)時(shí),,

故存在實(shí)數(shù)對(duì),使得對(duì)定義域內(nèi)任意實(shí)數(shù)x都成立,

故;

（2）若函數(shù)具有反函數(shù),且,

則,

則,解得:,

此時(shí),不存在反函數(shù),

故不存在實(shí)數(shù)對(duì),使得與同時(shí)屬于集合M.

（3）函數(shù),且存在滿足條件的有序?qū)崝?shù)對(duì)和,

于是,,

用替換中得:,

當(dāng)時(shí),,,

時(shí),.

又由得:,

故,即,

可得:.

時(shí),,

時(shí),,

……

依此類推可知時(shí),,

故時(shí),,

綜上所述,時(shí),,

時(shí),,

綜上所述,當(dāng)時(shí)函數(shù)的值域?yàn)?/span>.