【題目】設(shè)圓的圓心為,直線過點且與軸不重合,直線交圓,兩點,過點的平行線交于點.

1)證明為定值,并寫出點的軌跡方程;

2)設(shè)點的軌跡為曲線,直線,兩點,過點且與直線垂直的直線與圓交于,兩點,求四邊形面積的取值范圍.

【答案】(1)證明見解析,(2)

【解析】

1)由,,故,所以,得到,化簡得,利用橢圓的定義,即可求解;

(2)設(shè)的方程為,聯(lián)立方程組,利用根與系數(shù)的關(guān)系,結(jié)合弦長公式和三角形的面積公式,即可求解.

1)因為,,故,

所以,故,

又圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

從而,所以,

由題設(shè)得,,

由橢圓定義可得點的軌跡方程為.

(2)當(dāng)軸不垂直時,設(shè)的方程為,,

,

,,

所以

過點且與垂直的直線,的距離為,

所以,

故四邊形的面積,

可得當(dāng)軸不垂直時,四邊形面積的取值范圍為,

當(dāng)軸垂直時,其方程為,,四邊形的面積為,

綜上,四邊形面積的取值范圍為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在四棱錐中,底面為菱形, 平面, , , 分別是, 的中點.

(1)證明: ;

(2)設(shè)為線段上的動點,若線段長的最小值為,求二面角的余弦值.

【答案】(1)見解析;(2)

【解析】試題分析:(1)證明線線垂直則需證明線面垂直,根據(jù)題意易得,然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得,,因此平面,從而得證(2)先找到EH什么時候最短,顯然當(dāng)線段長的最小時, ,在中, , , ,∴,由中, ,∴.然后建立空間直角坐標(biāo)系,寫出兩個面法向量再根據(jù)向量的夾角公式即可得余弦值

解析:(1)證明:∵四邊形為菱形, ,

為正三角形.又的中點,∴.

,因此.

平面, 平面,∴.

平面, 平面,

平面.又平面,∴.

(2)如圖, 上任意一點,連接, .

當(dāng)線段長的最小時, ,由(1)知,

平面 平面,故.

中, , , ,

,

中, , ,∴.

由(1)知, , 兩兩垂直,以為坐標(biāo)原點,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,又, 分別是, 的中點,

可得, ,

, ,

所以 .

設(shè)平面的一法向量為,

因此,

,則,

因為 , ,所以平面,

為平面的一法向量.又,

所以 .

易得二面角為銳角,故所求二面角的余弦值為.

型】解答
結(jié)束】
20

【題目】2018湖北七市(州)教研協(xié)作體3月高三聯(lián)考已知橢圓 的左頂點為,上頂點為,直線與直線垂直,垂足為點,且點是線段的中點.

I)求橢圓的方程;

II)如圖,若直線 與橢圓交于, 兩點,點在橢圓上,且四邊形為平行四邊形,求證:四邊形的面積為定值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】解關(guān)于的不等式.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知圓,點P是直線上的一動點,過點P作圓M的切線PA,PB,切點為A,B

1)當(dāng)切線PA的長度為時,求點P的坐標(biāo);

2)若的外接圓為圓N,試問:當(dāng)P運動時,圓N是否過定點?若存在,求出所有的定點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由;

3)求線段AB長度的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知橢圓的離心率為,以原點為圓心,橢圓的短半軸為半徑的圓與直線相切,過點且不垂直于軸直線與橢圓相交于、兩點。

1)求橢圓的方程;

2)若點關(guān)于軸的對稱點是點,證明:直線軸相交于定點。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知數(shù)列滿足,.

(1)求數(shù)列的通項公式;

(2)求數(shù)列的前項和

(3)設(shè)數(shù)列滿足,其中.記的前項和為.是否存在正整數(shù),使得成立?若存在,請求出所有滿足條件的;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,四棱錐中,底面是邊長為2的正方形,,且,中點.

)求證:平面;  

求二面角的大小;

在線段上是否存在點,使得點到平

的距離為?若存在,確定點的位置;

若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】根據(jù)某鎮(zhèn)家庭抽樣調(diào)查的統(tǒng)計,2003年每戶家庭平均消費支出總額為1萬元,其中食品消費額為0.6萬元.預(yù)測2003年后,每戶家庭平均消費支出總額每年增加3000元,如果到2005年該鎮(zhèn)居民生活狀況能達(dá)到小康水平(即恩格爾系數(shù)n滿足),則這個鎮(zhèn)每戶食品消費額平均每年的增長率至多是多少(精確到0.1%)?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知集合M是具有下列性質(zhì)的函數(shù)的全體:存在實數(shù)對,使得對定義域內(nèi)任意實數(shù)x都成立.

1)判斷函數(shù),是否屬于集合;

2)若函數(shù)具有反函數(shù),是否存在相同的實數(shù)對,使得同時屬于集合若存在,求出相應(yīng)的;若不存在,說明理由;

3)若定義域為的函數(shù)屬于集合,且存在滿足有序?qū)崝?shù)對;當(dāng)時,的值域為,求當(dāng)時函數(shù)的值域.

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