Question

17．已知定義域為R的函數$f（x）=\frac{{-{2^x}+b}}{{{2^{x+1}}+2}}$是奇函數．
（1）求f（x）；
（2）判斷函數f（x）的單調性（不必證明）；
（3）解不等式f（|x|+1）+f（x）＜0．

Answer 1

分析 （1）根據f（x）是R上的奇函數，f（0）=0，求出b的值1即可；
（2）化簡f（x），判斷f（x）在R上為減函數；
（3）利用f（x）的單調性與奇偶性，化簡不等式并求出解集．

解答 解：（1）因為f（x）是R上的奇函數，
所以f（0）=0，即$\frac{-1+b}{2+2}$=0，解得b=1；
從而有$f（x）=\frac{{-{2^x}+1}}{{{2^{x+1}}+2}}$；…（2分）
經檢驗，符合題意；…（3分）
（2）由（1）知，f（x）=$\frac{{-2}^{x}+1}{{2}^{x+1}+2}$=-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{x}+1}$；
由y=2^x的單調性可推知f（x）在R上為減函數； …（6分）
（3）因為f（x）在R上為減函數且是奇函數，從而不等式
f（1+|x|）+f（x）＜0等價于f（1+|x|）＜-f（x），
即f（1+|x|）＜f（-x）； …（7分）
又因f（x）是R上的減函數，
由上式推得1+|x|＞-x，…（8分）
解得x∈R．…（10分）

點評 本題考查了函數的單調性與奇偶性的應用問題，也考查了不等式的解法與應用問題，是基礎題目．