Question

4．已知函數(shù)f（x）在實(shí)數(shù)集R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f′（x），若x[f（x）-f′（x）]＞0，f（0）=2，函數(shù)g（x）=f（x）-ke^x（e為自然對(duì)數(shù)的底）存在零點(diǎn)，則　�。�

• A． 實(shí)數(shù)k有最大值2
• B． 實(shí)數(shù)k有最小值2
• C． 實(shí)數(shù)k有最大值$\frac{2}{e}$
• D． 實(shí)數(shù)k有最小值$\frac{2}{e}$

Answer 1

分析 問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求k=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$的最大值，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出即可．

解答 解：令g（x）=0，得：k=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，
∵${[\frac{f（x）}{{e}^{x}}]}^{′}$=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$，
∴x＞0時(shí)，${[\frac{f（x）}{{e}^{x}}]}^{′}$＜0，函數(shù)y=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$遞減，
x＜0時(shí)，${[\frac{f（x）}{{e}^{x}}]}^{′}$＞0，函數(shù)y=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$遞增，
∴函數(shù)y=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$有最大值是$\frac{f（0）}{{e}^{0}}$=2，
即k的最大值是2，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道基礎(chǔ)題．