Question

15．已知函數(shù)f（x）=a•4^x+2^x+1，其中a∈R．
（1）設(shè)函數(shù)g（x）=lg$\frac{f（x）}{2}$，若當(dāng)x∈（-∞，1]時(shí)，g（x）有意義，求a的取值范圍；
（2）是否存在是實(shí)數(shù)m，使得關(guān)于x的方程f（x）=m對(duì)于任意非正實(shí)數(shù)a，均有實(shí)數(shù)根？若存在，求m；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）問題等價(jià)于$a＞-[{{{（{\frac{1}{4}}）}^x}+{{（{\frac{1}{2}}）}^x}}]$，令$y=-[{{{（{\frac{1}{4}}）}^x}+{{（{\frac{1}{2}}）}^x}}]$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出y的最大值，從而求出a的范圍即可；
（2）假設(shè)存在m滿足條件，即關(guān)于t的方程a•t²+t+1-m=0有正實(shí)數(shù)根，通過討論a的范圍，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出m 的范圍即可．

解答 解：（1）當(dāng)x∈（-∞，1]時(shí)，g（x）有意義，
即等價(jià)于x∈（-∞，1]時(shí)，$\frac{{a•{4^x}+{2^x}+1}}{2}＞0$成立．
將不等式變形，分離出$a＞-[{{{（{\frac{1}{4}}）}^x}+{{（{\frac{1}{2}}）}^x}}]$，
原命題等價(jià)于x∈（-∞，1]是求使得$a＞-[{{{（{\frac{1}{4}}）}^x}+{{（{\frac{1}{2}}）}^x}}]$恒成立的a的取值范圍…（2分）
令$y=-[{{{（{\frac{1}{4}}）}^x}+{{（{\frac{1}{2}}）}^x}}]$，當(dāng)x∈（-∞，1]時(shí)，只需a＞y_max，為此求y_max．
而$y=-[{{{（{\frac{1}{4}}）}^x}+{{（{\frac{1}{2}}）}^x}}]$在x∈（-∞，1]上是增函數(shù)，故當(dāng)x=1時(shí)，有${y_{max}}=-\frac{3}{4}$．
因此取$a＞-\frac{3}{4}$，即a得取值范圍是$（{-\frac{3}{4}，+∞}）$…（6分）
（2）假設(shè)存在m滿足條件．
關(guān)于x的方程a•4^x+2^x+1=m對(duì)于任意實(shí)數(shù)a恒有實(shí)數(shù)根，設(shè)t=2^x（t＞0），
即關(guān)于t的方程a•t²+t+1-m=0有正實(shí)數(shù)根…（8分）
當(dāng)a=0時(shí)，方程的解t=m-1，令t＞0，即m-1＞0，得m＞1；
當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)y=a•t²+t+1-m的開口向下，對(duì)稱軸為直線$t=-\frac{1}{2a}＞0$，
由圖象可知，△≥0，化簡(jiǎn)得$m≤1-\frac{1}{4a}$，對(duì)a＜0恒成立，即m≤1；
綜上所述，沒有滿足條件的實(shí)數(shù)m…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)恒成立問題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題以及分類討論思想，是一道中檔題．