Question

已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=

1

2

x²+a（a為常數(shù)），直線l與函數(shù)f（x）、g（x）的圖象都相切，且l與函數(shù)f（x）的圖象的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為l．
（Ⅰ）求直線l的方程及a的值；
（Ⅱ）當(dāng)k＞0時(shí)，試討論方程f（1-x²）-g（x）=k的解的個(gè)數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專題：分類討論,轉(zhuǎn)化思想,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)f（x）在x=1處的導(dǎo)數(shù)，從而求出切線的斜率，再用點(diǎn)斜式寫(xiě)出切線方程，化成斜截式即可，再根據(jù)直線l與函數(shù)f（x）、g（x）的圖象都相切建立等量關(guān)系，即可求出a的值；
（Ⅱ）由f（1+x²）-g（x）=k，設(shè)y₁=ln（1+x²）-

1

2

x²+

1

2

，y₂=k，通過(guò)導(dǎo)數(shù)，求出函數(shù)y₁的單調(diào)區(qū)間和極值，借助圖象，對(duì)k討論，即可得到解的個(gè)數(shù)．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=

1

x

，f′（1）=1，故直線l的斜率為1，
切點(diǎn)為（1，f（1）），即（1，0）
∴直線l：y=x-1 ①
又∵g′（x）=x，直線l：y=x-1與函數(shù)g（x）的圖象都相切，
∴令g′（x）=1，解得x=1，即切點(diǎn)為（1，

1

2

+a），
∴直線l：y-（

1

2

+a）=x-1，即y=x-

1

2

+a②
比較①和②的系數(shù)得-

1

2

+a=-1，∴a=-

1

2

．
（Ⅱ）由f（1+x²）-g（x）=k即ln（1+x²）-

1

2

x²+

1

2

=k，
設(shè)y₁=ln（1+x²）-

1

2

x²+

1

2

，y₂=k，
y₁′=

2x

1+x2

-x=

x(1-x)(x+1)

1+x2

，
令y₁′=0，可得x=0，-1，1．
當(dāng)x＜-1時(shí)，y₁′＞0，函數(shù)y₁遞增；當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，y₁′＜0，函數(shù)y₁遞減；
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，y₁′＞0，函數(shù)y₁遞增；當(dāng)x＞1時(shí)，y₁′＜0，函數(shù)y₁遞減．
可得x=-1和1，函數(shù)y₁取得極大值ln2，x=0時(shí)，函數(shù)y₁取得極小值

1

2

．
由函數(shù)y₁在R上各區(qū)間上的增減及極值情況，可得
（1）當(dāng)0＜k＜

1

2

時(shí)有兩個(gè)解；
（2）當(dāng)k=

1

2

時(shí)有3個(gè)解；
（3）當(dāng)

1

2

＜k＜ln2時(shí)有4個(gè)解
（4）當(dāng)k=ln2時(shí)有2個(gè)解；
（5）當(dāng)k＞ln2時(shí)無(wú)解．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，同時(shí)考查了函數(shù)與方程轉(zhuǎn)化的思想，運(yùn)用分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．