Question

4．已知函數(shù)f（x）=x²-3x+lnx．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）若對于任意的x₁，x₂∈（1，+∞），x₁≠x₂，都有$|{\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}}|＞k$恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，解關于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的極值即可；
（Ⅱ）不妨設x₁＞x₂＞1，原不等式等價于f（x₁）-f（x₂）＞kx₁-kx₂，令h（x）=f（x）-kx=x²-（3+k）x+lnx，問題等價于h′（x）=2x-（3+k）+$\frac{1}{x}$≥0在（1，+∞）上恒成立，得到3+k≤2x+$\frac{1}{x}$在（1，+∞）上恒成立，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出k的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）的定義域為（0，+∞），
f′（x）=2x-3+$\frac{1}{x}$=$\frac{（2x-1）（x-1）}{x}$，
當x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（0，$\frac{1}{2}$）	$\frac{1}{2}$	（$\frac{1}{2}$，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

當x=$\frac{1}{2}$時，函數(shù)f（x）取得極大值為-$\frac{5}{4}$-ln2，
當x=1時，函數(shù)f（x）取得極小值為-2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增，不妨設x₁＞x₂＞1，
則f（x₁）-f（x₂）＞0，所以原不等式等價于f（x₁）-f（x₂）＞kx₁-kx₂，
即f（x₁）-kx₁＞f（x₂）-kx₂，
令h（x）=f（x）-kx=x²-（3+k）x+lnx，
則原不等式等價于h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
即等價于h′（x）=2x-（3+k）+$\frac{1}{x}$≥0在（1，+∞）上恒成立，
也等價于3+k≤2x+$\frac{1}{x}$在（1，+∞）上恒成立，
令g（x）=2x+$\frac{1}{x}$，x∈（1，+∞），
因為g′（x）＞0在（1，+∞）上恒成立，
所以g（x）＞g（1）=3，即g（x）_min=3，
所以3+k≤3，k≤0，
故得所求實數(shù)k的取值范圍為（-∞，0]．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及函數(shù)恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．