Question

14．平面直角坐標(biāo)系xoy中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2-\frac{1}{2}t\\ y=1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.（t為參數(shù)）$，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ²（4cos²θ+sin²θ）=16．
（1）寫出直線l的普通方程與曲線C的參數(shù)方程；
（2）設(shè)M（x，y）為曲線C上任意一點(diǎn)，求$\sqrt{3}x+\frac{1}{2}y$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2-\frac{1}{2}t\\ y=1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.（t為參數(shù)）$，消去參數(shù)t可得：l的普通方程．由ρ²（4cos²θ+sin²θ）=16得4ρ²cos²θ+ρ²sin²θ=16，利用互化公式，所以曲線C的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=4sinθ\end{array}\right.（θ為參數(shù)）$．
（2）M在曲線..上，所以設(shè)M（2cosθ，4sinθ），代入可得$\sqrt{3}$x+$\frac{1}{2}$y=4sin$（θ+\frac{π}{3}）$，即可得出．

解答 解：（1）直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2-\frac{1}{2}t\\ y=1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.（t為參數(shù)）$，消去參數(shù)t可得：l的普通方程為：$\sqrt{3}x+y-1-2\sqrt{3}=0$，
由ρ²（4cos²θ+sin²θ）=16得4ρ²cos²θ+ρ²sin²θ=16得4x²+y²=16，即$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{16}=1$．
所以曲線C的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=4sinθ\end{array}\right.（θ為參數(shù)）$；
（2）M在曲線C上，所以設(shè)M（2cosθ，4sinθ），
則$\sqrt{3}$x+$\frac{1}{2}$y=$\sqrt{3}×2cosθ$+$\frac{1}{2}×4sinθ$=2$\sqrt{3}$cosθ+2sinθ=4sin$（θ+\frac{π}{3}）$，
因?yàn)?≤θ＜2π，$-1≤sin（θ+\frac{π}{3}）$≤1，
∴-4≤$\sqrt{3}$x+$\frac{1}{2}$y≤4．

點(diǎn)評 本題考查了參數(shù)方程回去普通方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、三角函數(shù)求值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．