Question

12．如圖，若點(diǎn)E為正方形ABCD外一點(diǎn)，∠BEC=45°，連AE．
（1）求∠AEB的度數(shù)；
（2）求證：AE+CE=$\sqrt{2}$BE．

Answer 1

分析 （1）過(guò)點(diǎn)B作BF⊥BE交EC延長(zhǎng)線于F，由∠BEC=45°得BF=BE，根據(jù)四邊形ABCD是正方形得AB=BC、∠ABE=∠CBF，依據(jù)“SAS”證△ABE≌△CBF可得∠AEB=∠F=45°；
（2）由△ABE≌△CBF知CF=AE，在RT△BEF中，由勾股定理得EF=EC+CF=$\sqrt{2}$BE，即AE+CE=$\sqrt{2}$BE．

解答 （1）解：過(guò)點(diǎn)B作BF⊥BE交EC的延長(zhǎng)線于F，

∵∠BEC=45°，
∴∠F=45°，
∴∠F=∠BEC，
∴BF=BE，
又∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABE=∠CBF，
在△ABE和△CBF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{BE=BF}\\{∠ABE=∠CBF}\\{AB=CB}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴∠AEB=∠F=45°；
（2）證明：∵△ABE≌△CBF，
∴CF=AE，
在Rt△BEF中，
∵BE²+BF²=EF²，
∴$\sqrt{2}$BE=EF，
∴AE+CE=$\sqrt{2}$BE．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，通過(guò)構(gòu)建全等三角形將待求角轉(zhuǎn)換到求另一個(gè)相等角是解題關(guān)鍵．