Question

8．已知雙曲線C的中心在原點且對稱軸為坐標軸，C的一條漸近線與焦點為F的拋物線y²=8x交于點P，且|PF|=4，則雙曲線的離心率為$\sqrt{5}$或$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$．

Answer 1

分析 利用拋物線方程以及性質(zhì)求出P的坐標，代入雙曲線的漸近線方程，然后求解雙曲線的離心率即可．

解答 解：拋物線y²=8x上的點P，且|PF|=4，可得P（2，±4），
雙曲線的焦點坐標在x軸時，一條漸近線為：bx+ay=0，可得2b-4a=0，即b²=4a²，可得e=$\sqrt{5}$．
雙曲線的焦點坐標在y軸時，一條漸近線為：ax+by=0，可得4b-2a=0，即4b²=a²，可得e=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
所求雙曲線的離心率為：$\sqrt{5}$或$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$．
故答案為：$\sqrt{5}$或$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$．

點評 本題考查雙曲線以及拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及分類討論思想的應(yīng)用．