Question

18．在直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)點(diǎn)P（2，1）的直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\sqrt{3}t}\\{y=1+t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin²θ=2cosθ，已知直線l與曲線C交于A、B兩點(diǎn)．
（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析 （1）曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin²θ=2cosθ，即ρ²sin²θ=2ρcosθ，利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程．
（2）把直線l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{\sqrt{3}}{2}t′}\\{y=1+\frac{1}{2}t′}\end{array}\right.$代入拋物線方程可得：$\frac{1}{4}$t′²+（1-$\sqrt{3}$）t′-3=0．利用根與系數(shù)的關(guān)系、參數(shù)的幾何意義即可得出．

解答 解：（1）曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin²θ=2cosθ，即為ρ²sin²θ=2ρcosθ，化為普通方程為：y²=2x；
（2）把直線l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{\sqrt{3}}{2}t′}\\{y=1+\frac{1}{2}t′}\end{array}\right.$代入拋物線方程可得：$\frac{1}{4}$t′²+（1-$\sqrt{3}$）t′-3=0．
∴t′₁t′₂=-12．
∴|PA|•|PB|=|t′₁t′₂|=12．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程的互化公式、直線的參數(shù)方程及其應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．