Question

14．已知函數(shù)f（x）=|2x-a|+|2x-1|，a∈R．
（I）當a=3時，求關于x的不等式f（x）≤6的解集；
（II）當x∈R時，f（x）≥a²-a-13，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）分類討論，即可求關于x的不等式f（x）≤6的解集；
（II）當x∈R時，f（x）≥a²-a-13等價于|1-a|≥a²-a-13，分類討論，求實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（I）當a=3時，不等式f（x）≤6為|2x-3|+|2x-1|≤6
若$x＜\frac{1}{2}$時，不等式可化為-（2x-3）-（2x-1）=-4x+4≤6，解得$-\frac{1}{2}≤x＜\frac{1}{2}$，
若$\frac{1}{2}≤x≤\frac{3}{2}$時，不等式可化為-（2x-3）+（2x-1）=2≤6，解得$\frac{1}{2}≤x≤\frac{3}{2}$，
若$x＞\frac{3}{2}$時，不等式可化為（2x-3）+（2x-1）=4x-4≤6，解得$\frac{3}{2}＜x≤\frac{5}{2}$，
綜上所述，關于x的不等式f（x）≤6的解集為$\left\{{x\left|{-\frac{1}{2}≤x≤\frac{5}{2}}\right.}\right\}$．     …（5分）
（II）當x∈R時，f（x）=|2x-a|+|2x-1|≥|2x-a+1-2x|=|1-a|，
所以當x∈R時，f（x）≥a²-a-13等價于|1-a|≥a²-a-13，
當a≤1時，等價于1-a≥a²-a-13，解得$-\sqrt{14}≤a≤1$，
當a＞1時，等價于a-1≥a²-a-13，解得$1＜a≤1+\sqrt{13}$，
所以a的取值范圍為$[{-\sqrt{14}，1+\sqrt{13}}]$．   …（10分）

點評 本題考查不等式的解法，考查絕對值不等式的性質，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．