Question

6．已知兩個(gè)無(wú)窮數(shù)列{a_n}和{b_n}的前n項(xiàng)和分別為S_n，T_n，a₁=1，S₂=4，對(duì)任意的n∈N^*，都有3S_n+1=2S_n+S_n+2+a_n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若{b_n}為等差數(shù)列，對(duì)任意的n∈N^*，都有S_n＞T_n．證明：a_n＞b_n；
（3）若{b_n}為等比數(shù)列，b₁=a₁，b₂=a₂，求滿足$\frac{{a}_{n}+2{T}_{n}}{_{n}+2{S}_{n}}$=a_k（k∈N^*）的n值．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用數(shù)列的遞推式和等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，即可得到所求；
（2）方法一、設(shè)數(shù)列{b_n}的公差為d，求出S_n，T_n．由恒成立思想可得b₁＜1，求出a_n-b_n，判斷符號(hào)即可得證；
方法二、運(yùn)用反證法證明，設(shè){b_n}的公差為d，假設(shè)存在自然數(shù)n₀≥2，使得a${\;}_{{n}_{0}}$≤b${\;}_{{n}_{0}}$，推理可得d＞2，作差T_n-S_n，推出大于0，即可得證；
（3）運(yùn)用等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，求得S_n，T_n，化簡(jiǎn)$\frac{{a}_{n}+2{T}_{n}}{_{n}+2{S}_{n}}$，推出小于3，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和數(shù)列的單調(diào)性，即可得到所求值．

解答 解：（1）由3S_n+1=2S_n+S_n+2+a_n，得2（S_n+1-S_n）=S_n+2-S_n+1+a_n，
即2a_n+1=a_n+2+a_n，所以a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n．
由a₁=1，S₂=4，可知a₂=3．
所以數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列．
故{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=1+2（n-1）=2n-1，n∈N*．
（2）證法一：設(shè)數(shù)列{b_n}的公差為d，
則T_n=nb₁+$\frac{1}{2}$n（n-1）d，
由（1）知，S_n=$\frac{1}{2}$n（1+2n-1）=n²．
因?yàn)镾_n＞T_n，所以n²＞nb₁+$\frac{1}{2}$n（n-1）d，
即（2-d）n+d-2b₁＞0恒成立，
所以$\left\{\begin{array}{l}{2-d≥0}\\{d-2_{1}＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{d≤2}\\{2_{1}＜d}\end{array}\right.$，
又由S₁＞T₁，得b₁＜1，
所以a_n-b_n=2n-1-b₁-（n-1）d=（2-d）n+d-1-b₁≥2-d+d-1-b₁=1-b₁＞0．
所以a_n＞b_n，得證．
證法二：設(shè){b_n}的公差為d，假設(shè)存在自然數(shù)n₀≥2，使得a${\;}_{{n}_{0}}$≤b${\;}_{{n}_{0}}$，
則a₁+2（n₀-1）≤b₁+（n₀-1）d，即a₁-b₁≤（n₀-1）（d-2），
因?yàn)閍₁＞b₁，所以d＞2．
所以T_n-S_n=nb₁+$\frac{1}{2}$n（n-1）d-n²=（$\frac{1}{2}$d-1）n²+（b₁-$\frac{1}{2}$d）n，
因?yàn)?\frac{1}{2}$d-1＞0，所以存在N${\;}_{{n}_{0}}$∈N*，當(dāng)n＞N${\;}_{{n}_{0}}$時(shí)，T_n-S_n＞0恒成立．
這與“對(duì)任意的n∈N^*，都有S_n＞T_n”矛盾！
所以a_n＞b_n，得證．
（3）由（1）知，S_n=n²．因?yàn)閧b_n}為等比數(shù)列，
且b₁=1，b₂=3，
所以{b_n}是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列．
所以b_n=3^n-1，T_n=$\frac{1}{2}$（3ⁿ-1）．
則$\frac{{a}_{n}+2{T}_{n}}{_{n}+2{S}_{n}}$=$\frac{2n-1+{3}^{n}-1}{{3}^{n-1}+2{n}^{2}}$=$\frac{{3}^{n}+2n-2}{{3}^{n-1}+2{n}^{2}}$=3-$\frac{6{n}^{2}-2n+2}{{3}^{n-1}+2{n}^{2}}$，
因?yàn)閚∈N*，所以6n²-2n+2＞0，所以$\frac{{a}_{n}+2{T}_{n}}{_{n}+2{S}_{n}}$＜3．
而a_k=2k-1，所以$\frac{{a}_{n}+2{T}_{n}}{_{n}+2{S}_{n}}$=1，即3^n-1-n²+n-1=0（*）．
當(dāng)n=1，2時(shí)，（*）式成立；
當(dāng)n≥2時(shí)，設(shè)f（n）=3^n-1-n²+n-1，
則f（n+1）-f（n）=3ⁿ-（n+1）²+n-（3^n-1-n²+n-1）=2（3^n-1-n）＞0，
所以0=f（2）＜f（3）＜…＜f（n）＜…，
故滿足條件的n的值為1和2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，注意運(yùn)用數(shù)列的遞推式，考查不等式的證明，注意運(yùn)用恒成立思想和作差法，或反證法，考查數(shù)列的單調(diào)性的運(yùn)用，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于難題．