Question

16．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足$\overrightarrow{a}$=（1，-1），|$\overrightarrow$|=1，且$\overrightarrow$⊥（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$），則$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為（　�。�

• A． $\frac{π}{4}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{2π}{3}$
• D． $\frac{3π}{4}$

Answer 1

分析 求得向量$\overrightarrow{a}$的模，由向量垂直的條件：數(shù)量積為0，化簡，再由數(shù)量積的定義和向量的平方即為模的平方，解方程可得向量夾角的余弦值，進而得到向量的夾角．

解答 解：向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足$\overrightarrow{a}$=（1，-1），|$\overrightarrow$|=1，且$\overrightarrow$⊥（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$），
可得|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{2}$，$\overrightarrow$•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=0，
即為$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+$\overrightarrow$²=0，
即有|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$|•cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞+|$\overrightarrow$|²=$\sqrt{2}$cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞+1=0，
則cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由0≤＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞≤π，
可得$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為$\frac{3π}{4}$．
故選：D．

點評 本題考查向量數(shù)量積的定義和向量垂直的條件：數(shù)量積為0，以及向量的平方即為模的平方，考查運算能力，屬于中檔題．