Question

11．△ABC中，D為BC的中點，G為△ABC的重心，AB=AD．BG=2，則△ABC的面積最大值為7.2．

Answer 1

分析 設(shè)DG=x，則AG=2x，AB=3x，∠BAD=θ，由余弦定理求得cosθ的表達式，進而得出sinθ，求出三角形的面積關(guān)于x的函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得面積的最大值．

解答 解：設(shè)DG=x，則AG=2x，∴AB=AD=3x，設(shè)∠BAD=θ，
則在△ABG中，由余弦定理得cosθ=$\frac{A{B}^{2}+A{G}^{2}-B{G}^{2}}{2AB×AG}$=$\frac{13{x}^{2}-4}{12{x}^{2}}$．
∴sinθ=$\sqrt{1-co{s}^{2}θ}$=$\sqrt{1-（\frac{13{x}^{2}-4}{12{x}^{2}}）^{2}}$=$\frac{1}{12{x}^{2}}$$\sqrt{-25{x}^{4}+104{x}^{2}-16}$．
∴S_△ABC=2S_△ABD=2×$\frac{1}{2}×AB×AD×sinθ$=$\frac{3}{4}$$\sqrt{-25{x}^{4}+104{x}^{2}-16}$．
令f（x）=-25x⁴+104x²-16=-25（x²-$\frac{52}{25}$）²+$\frac{5{2}^{2}}{25}-16$．
∴當(dāng)x²=$\frac{52}{25}$時，f（x）取得最大值$\frac{5{2}^{2}}{25}-16$=92.16．
∴S_△ABC的最大值為$\frac{3}{4}×\sqrt{92.16}$=7.2．
故答案為7.2．

點評 本題考查了函數(shù)最值的應(yīng)用，根據(jù)條件設(shè)出變量，根據(jù)三角形的面積公式以及三角函數(shù)的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出函數(shù)的最值，考查學(xué)生的運算能力．運算量較大，屬于中檔題．