Question

16．在長(zhǎng)方形ABCD中，AD=2，AB=4，點(diǎn)E是邊CD上的一動(dòng)點(diǎn)，將△ADE沿直線AE翻折到△AD₁E，使得二面角D₁-AE-B為直二面角，則cos∠D₁AB的最大值為（　�。�

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)二面角的定義，結(jié)合余弦定理求出BD₁²的長(zhǎng)度關(guān)系，結(jié)合三角函數(shù)的有界性進(jìn)行求解即可．

解答 解：在長(zhǎng)方形ABCD中，過(guò)D作DO⊥AE于O，
設(shè)∠DAE=θ，則0＜θ＜$\frac{π}{2}$，
則折疊后使得二面角D₁-AE-B為直二面角，
則D₁A⊥面AEB，則△D₁OB是直角三角形，
∵DO=2sinθ，AO=2cosθ，
∴OB²=4cos²θ+16-2×2cosθ×4×cos（$\frac{π}{2}$-θ）=4cos²θ+16-2×2cosθ×4×sinθ
=4cos²θ-8sin2θ+16，
則BD₁²=OD₁²+OB²=4sin²θ+16+4cos²θ-8sin2θ=20-8sin2θ，
∵BD₁²=4+16-2×4×2cos∠D₁AB=20-16cos∠D₁AB，
∴要使2cos∠D₁AB最大，則只需要BD₁²最小即可，
∵0＜θ＜$\frac{π}{2}$，∴0＜2θ＜π，
即當(dāng)sin2θ=1時(shí)，BD₁²最小，此時(shí)BD₁²=20-8=12，
由20-16cos∠D₁AB=12得cos∠D₁AB=$\frac{1}{2}$，
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二面角的應(yīng)用，結(jié)合余弦定理轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的運(yùn)算和轉(zhuǎn)化能力，綜合性較強(qiáng)，難度較大．