Question

（2013•許昌二模）已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，極軸與直角坐標(biāo)系中x軸的正半軸重合，且兩坐標(biāo)系有相同的長(zhǎng)度單位，圓C的參數(shù)方程為

x=1+2cosα y=-1+2sinα

（α為參數(shù)），點(diǎn)Q的極坐標(biāo)為（2

2

，

7

4

π）．
（Ⅰ）化圓C的參數(shù)方程為極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）若直線l過點(diǎn)Q且與圓C交于M，N兩點(diǎn)，求當(dāng)|MN|最小時(shí)，直線l的直角坐標(biāo)方程．

Answer 1

分析：（I）先消去參數(shù)得出圓C的直角坐標(biāo)方程，再利用x²+y²=ρ²，x=ρcosθ，y=ρsinθ．即可得出圓C的極坐標(biāo)方程；
（II）先將點(diǎn)Q的極坐標(biāo)化成直角坐標(biāo)為，得出其在圓C內(nèi)．從而當(dāng)l⊥CQ時(shí)，|MN|最小，再利用圓心C（1，-1），及垂直關(guān)系得出直線l的斜率，從而得到直線L的方程．

解答：解：（I）圓C的直角坐標(biāo)方程為：x²+y²-2x+2y-2=0．
又x²+y²=ρ²，x=ρcosθ，y=ρsinθ．
∴圓C的極坐標(biāo)方程可化為：ρ²-2ρcosθ+2ρsinθ-2=0，
（II）∵點(diǎn)Q的極坐標(biāo)為（2

2

，

7

4

π）．
∴點(diǎn)Q的直角坐標(biāo)為（2，-2），其在圓C內(nèi)．
從而當(dāng)l⊥CQ時(shí)，|MN|最小，又圓心C（1，-1），
∴k_CQ=

-2-(-1)

2-1

=-1，
∴k_l=1，
所以直線L的方程為：y+2=x-2．即x-y-4=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化，直線與圓的位置關(guān)系，轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用，是中檔題．