Question

已知曲線C：y=3x⁴-2x³-9x²+4
（1）求曲線C上切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1的切線l的方程
（2）第（1）問中的切線l與曲線C是否還有其他公共點(diǎn)？如果有，請(qǐng)求出交點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)在x=1處的導(dǎo)數(shù)，從而得到切線的斜率，再利用點(diǎn)斜式方程寫出切線方程即可．
（2）由（1）得出的切線方程與y=3x⁴-2x³-9x²+4組成方程組，解得兩組解，從而得出切線與曲線C還有其他的公共點(diǎn)．

解答：解：（1）y'=12x³-6x²-18x，
y'|_x=1=12×1³-6×1²-18×1=-12，
而切點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，-4）
∴曲線y=3x⁴-2x³-9x²+4在x=1的處的切線方程為：y+4=-12（x-1），即12x+y-8=0；
（2）由方程組：

12x+y-8=0 y=3x4-2x3-9x2+4

解得：

x=1 y=-4

或

x=-2 y=32

或

x= 2 3 y=0

故切線與曲線C還有其他的公共點(diǎn)：（-2，32），（

2

3

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，考查運(yùn)算求解能力和方程思想，屬于基礎(chǔ)題．