Question

4．已知函數(shù)f（x）=|2x+1|-|x-2|，不等式f（x）≤2的解集為M．
（1）求M；
（2）記集合M的最大元素為m，若正數(shù)a，b，c滿足a²+3b²+2c²=m，求ab+2bc的最大值．

Answer 1

分析 （1）分類討論，去掉絕對(duì)值，求出不等式f（x）≤2的解集為M．
（ 2）由（1）知m=1，可得a²+3b²+2c²=1，利用基本不等式求ab+2bc的最大值．

解答 解：（1）不等式f（x）≤2，即|2x+1|-|x-2|≤2，即$\left\{\begin{array}{l}{x≤-\frac{1}{2}}\\{-x-3≤2}\end{array}\right.$①；或$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}＜x＜2}\\{3x-1≤2}\end{array}\right.$②；或$\left\{\begin{array}{l}{x≥2}\\{x+3≤2}\end{array}\right.$③．
解求得-5≤x≤-$\frac{1}{2}$；解求得-$\frac{1}{2}$＜x≤1；解求得 x∈∅．
綜合可得，不等式f（x）≤2的解集為M={x|-5≤x≤1}．
（2）由（1）可得M中的最大元素m=1，故有 a²+3b²+2c²=m=1，
∴ab+2bc≤$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}}{2}$+b²+c²=$\frac{{a}^{2}+{3b}^{2}+{2c}^{2}}{2}$=$\frac{1}{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立，
故ab+2bc的最大值為$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查絕對(duì)值不等式，考查基本不等式的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．