Question

12．平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=-1+\frac{\sqrt{2}}{2}t\\ y=\frac{\sqrt{2}}{2}t\end{array}$（t∈R）．以直角坐標(biāo)系原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C₁的極坐標(biāo)方程為ρ²cos 2θ+4ρ²sin²θ=3．
（1）求出直線l的普通方程及曲線C₁的直角坐標(biāo)方程；
（2）若直線l與曲線C₁交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C是曲線C₁上與A，B不重合的一點(diǎn)，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）直線l的參數(shù)方程消去參數(shù)t，參數(shù)直線l的普通方程；曲線C₁的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為ρ²cos²θ+3ρ²sin²θ=3，由$\left\{\begin{array}{l}{ρcosθ=x}\\{ρsinθ=y}\end{array}\right.$，能求出曲線C₁的直角坐標(biāo)方程．
（2）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1=0}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得出A（0，1），B（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{1}{2}$），從而求出|AB|=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，設(shè)C（$\sqrt{3}$cosα，sinα），求出點(diǎn)C到直線l的距離d=$\frac{|2cos（α+\frac{π}{6}）+1|}{\sqrt{2}}$≤$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，由此能求出△ABC面積的最大值．

解答 解：（1）∵直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=-1+\frac{\sqrt{2}}{2}t\\ y=\frac{\sqrt{2}}{2}t\end{array}$（t∈R）．
∴消去參數(shù)t，得到直線l的普通方程為：x-y+1=0．
∵曲線C₁的極坐標(biāo)方程為ρ²cos 2θ+4ρ²sin²θ=3，
∴ρ²cos²θ+3ρ²sin²θ=3，
把$\left\{\begin{array}{l}{ρcosθ=x}\\{ρsinθ=y}\end{array}\right.$，代入上式，得曲線C₁的直角坐標(biāo)方程為x²+3y²=3，即$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}$=1．
（2）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1=0}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=1}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{3}{2}}\\{y=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
設(shè)A（0，1），B（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{1}{2}$），
∴|AB|=$\sqrt{（0+\frac{3}{2}）^{2}+（1+\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∵點(diǎn)C是曲線C₁上一點(diǎn)，設(shè)C（$\sqrt{3}$cosα，sinα），
則點(diǎn)C到直線l的距離d=$\frac{|\sqrt{3}cosα-sinα+1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|2cos（α+\frac{π}{6}）+1|}{\sqrt{2}}$≤$\frac{3}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
當(dāng)cos（α+$\frac{π}{6}$）=1時(shí)取等號(hào)，
∴△ABC的面積$S=\frac{1}{2}×d×|AB|$≤$\frac{1}{2}×\frac{3\sqrt{2}}{2}×\frac{3\sqrt{2}}{2}$=$\frac{9}{4}$，
∴△ABC面積的最大值為$\frac{9}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線的普通方程、曲線的直角坐標(biāo)方程的求法，考查三角形的面積的最大值求法，考查參數(shù)方程、直角坐標(biāo)方程的互化、三角函數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．