Question

（本題滿分12分）已知點(diǎn)在雙曲線上，且雙曲線的一條漸近線的方程是．

（1）求雙曲線的方程；

（2）過點(diǎn)且斜率為的直線與雙曲線交于兩個(gè)不同點(diǎn)，若以線段為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值．

 

Answer 1

（1） ；（2）.

【解析】

試題分析：（1）點(diǎn)在雙曲線上，代入方程得，一條漸近線的方程是

知，可以解得,寫出方程；（2）設(shè)過點(diǎn)且斜率為的直線： ，與雙曲線方程聯(lián)立消去得到關(guān)于的二次方程，利用根與系數(shù)關(guān)系有與的關(guān)系式，又以線段為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，因此，為坐標(biāo)原點(diǎn)）．代入坐標(biāo)和根與系數(shù)關(guān)系得方程，解得，再利用檢驗(yàn).

于是，即

試題解析：（1）由題知，有 解得

因此，所求雙曲線的方程是．

（2）∵直線過點(diǎn)且斜率為， ∴直線：．

聯(lián)立方程組得．①

設(shè)交點(diǎn)為，由①可得

又以線段為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，因此，為坐標(biāo)原點(diǎn)）．

于是，即，，

，解得．

又滿足，且，

所以，所求實(shí)數(shù)．

考點(diǎn)：1.雙曲線方程及性質(zhì)；2.直線與雙曲線的綜合問題；3.兩直線垂直.