如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=1,AA1=2,∠ACB=90°,M是A1B1的中點(diǎn).
(1)求證:C1M⊥平面ABB1A1
(2)求異面直線A1B與B1C所成角的余弦值.
(1)證明:∵直三棱柱ABC-A1B1C1∴AA1⊥面A1B1C1
又C1M?A1B1C1∴C1M⊥AA1(2分)∵A1C1=B1C1=1,M是A1B1的中點(diǎn)∴C1M⊥A1B1(4分)
又AA1∩A1B1=A1∴C1M⊥平面ABB1A1(6分)
(2)設(shè)BC,BB1的中點(diǎn)分別為R、N連接RN,連接MN,則MNA1B,NRB1C
∴∠MNR是異面直線A1B與B1C所成角或其補(bǔ)角(9分)
設(shè)點(diǎn)P為AB的中點(diǎn),連接MP,MR
在Rt△MPR中,MR=
22+(
1
2
)
2
=
在△MNR中,MN=A1B=
6
2
,RN=
1
2
B1C=
5
2
,MR=
17
2

由余弦定理得:
cos∠MNR=
MN2+RN2-MR2
2MN×RN
=
(
6
2
)
2
+(
5
2
)
2
-(
17
2
)
2
6
2
×
5
2
=-
30
10
(11分)
∴異面直線A1B與B1C所成角的余弦值為
30
10
(12分)
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中AB=AA1=2,AD=1,E為CC1的中點(diǎn),則異面直線BC1與AE所成角的余弦值為( 。
A.
10
10
B.
30
10
C.
2
15
10
D.
3
10
10

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為1,高為h(h>3),點(diǎn)M在側(cè)棱BB1上移動(dòng),并且M到底面ABC的距離為x,且AM與側(cè)面BCC1B1所成的角為α.
(1)若α在區(qū)間[
π
6
π
4
]
上變化,求x的變化范圍;
(2)若α為
π
6
,求AM與BC所成角的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

點(diǎn)E是正四面體ABCD的棱AD的中點(diǎn),則異面直線BE與AC所成的角的余弦值為( 。
A.
3
6
B.
3
3
C.
6
3
D.
5
6

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知正方體ABCD-A1B1C1D1,O是底ABCD對(duì)角線的交點(diǎn).
(1)求證:C1O面AB1D1;
(2)求異面直線AD1與C1O所成角的大。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

正四面體A-BCD中,異面直線AB與CD所成角為( 。
A.
π
6
B.
π
4
C.
π
3
D.
π
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

將正方形ABCD沿對(duì)角線BD折成一個(gè)120°的二面角,點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)C1,這時(shí)異面直線AD與BC1所成的角的余弦值是( 。
A.
2
2
B.
1
2
C.
3
4
D.
3
4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,BB1=BC,P為C1D1上一點(diǎn),則異面直線PB與B1C所成角的大。ā 。
A.是45°B.是60°
C.是90°D.隨P點(diǎn)的移動(dòng)而變化

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2,M,N分別為AA1、BB1的中點(diǎn).
求:(1)CM與D1N所成角的余弦值.
(2)D1N與平面MBC所成角的余弦值.

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同步練習(xí)冊(cè)答案