Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=1，AA₁=2，∠ACB=90°，M是A₁B₁的中點(diǎn)．
（1）求證：C₁M⊥平面ABB₁A₁
（2）求異面直線A₁B與B₁C所成角的余弦值．

Answer 1

（1）證明：∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁∴AA₁⊥面A₁B₁C₁
又C₁M?A₁B₁C₁∴C₁M⊥AA₁（2分）∵A₁C₁=B₁C₁=1，M是A₁B₁的中點(diǎn)∴C₁M⊥A₁B₁（4分）
又AA₁∩A₁B₁=A₁∴C₁M⊥平面ABB₁A₁（6分）
（2）設(shè)BC，BB₁的中點(diǎn)分別為R、N連接RN，連接MN，則MN∥A₁B，NR∥B₁C
∴∠MNR是異面直線A₁B與B₁C所成角或其補(bǔ)角（9分）
設(shè)點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，連接MP，MR
在Rt△MPR中，MR=

22+( 1 2 )2

=
在△MNR中，MN=A₁B=

6

2

，RN=

1

2

B₁C=

5

2

，MR=

17

2

由余弦定理得：
cos∠MNR=

MN2+RN2-MR2

2MN×RN

=

( 6 2 )2+( 5 2 )2-( 17 2 )2

2× 6 2 × 5 2

=-

30

10

（11分）
∴異面直線A₁B與B₁C所成角的余弦值為

30

10

（12分）