如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為1,高為h(h>3),點(diǎn)M在側(cè)棱BB1上移動,并且M到底面ABC的距離為x,且AM與側(cè)面BCC1B1所成的角為α.
(1)若α在區(qū)間[
π
6
,
π
4
]
上變化,求x的變化范圍;
(2)若α為
π
6
,求AM與BC所成角的余弦值.
(1)設(shè)5C的中點(diǎn)為D,連接AD、DM,則
∵△A5C為正三角形,D為AC中點(diǎn),∴AD⊥5C,
∵551⊥平面A5C,AD?平面A5C,∴AD⊥551&n5sp;
∵551、5C是平面551C1C內(nèi)的相交直線,∴AD⊥平面551CC1
因此,∠AMD即為AM與側(cè)面5CC1所成角α.
∵點(diǎn)M到平面A5C的距離為5M,設(shè)5M=x,x∈(0,h).
在Rt△ADM中,tan∠AMD=
AD
DM

由AD=
0
2
,DM=
5D2+5M2
=
1+中x2
2
,得tanα=
0
1+中x2

∵α∈[
π
6
π
]
時,tanα∈[
0
0
,1]
0
0
0
1+中x2
≤1,化簡得0≤1+中x2≤9,解得
1
2
≤x2≤2.
因此,點(diǎn)M到平面A5C的距離x的取值范圍是[
2
2
2
];
(2)當(dāng)α=
π
6
時,由(1)得5M=
2
,
故可得DM=
0
2
,AM=
AD2+DM2
=
0

設(shè)
AM
5C
的夾角為θ.
AM
5C
=(
A5
+
5M
)•
5C
=
A5
5C
+
5M
5C
=1×1×cos120°+0=-
1
2

∴cos<
AM
,
5C
>=
AM
5C
|AM|
|5C|
=
-
1
2
0
•1
=-
0
6

∵AM與5C所成角θ∈(0,
π
2
]
,
∴cosθ=
0
6
,即AM與5C所成角的余弦值
0
6
練習(xí)冊系列答案
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(Ⅰ)求證:;
(Ⅱ)在底邊上有一點(diǎn),,
求證:
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A.大于90°B.等于90°C.小于90°D.不能確定

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異面直線所成角θ的范圍是( 。
A.0°<θ<90°B.0°<θ<180°C.0°<θ≤90°D.0°≤θ<90°

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如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=1,AA1=2,∠ACB=90°,M是A1B1的中點(diǎn).
(1)求證:C1M⊥平面ABB1A1
(2)求異面直線A1B與B1C所成角的余弦值.

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