Question

8．如圖，三棱柱ADE-BCG中，四邊形ABCD是矩形，F是EG的中點，EA⊥AB，AD=AE=EF=1，平面ABGE⊥平面ABCD．
（1）求證：AF⊥平面FBC；
（2）求二面角B-FC-D的正弦值．

Answer 1

分析 （1）推導出BC⊥AB，BC⊥AF，AF⊥BF，由此能證明AF⊥平面FBC．
（2）分別以AD、AB、AE所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角B-FC-D的正弦值．

解答 證明：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴BC⊥AB，
又平面ABGE⊥平面ABCD，
∴BC⊥平面ABGE，
∵AF?平面ABGE，∴BC⊥AF，
在△AFB中，AF=BF=$\sqrt{2}$，AB=2，
∴AF²+BF²=AB²，即AF⊥BF，
∵BF∩BC=B，∴AF⊥平面FBC．
解：（2）分別以AD、AB、AE所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，
則A（0，0，0），D（1，0，0），C（1，2，0），E（0，0，1），B（0，2，0），F（0，1，1），
∵$\overrightarrow{DC}$=（0，2，0），$\overrightarrow{DE}$=（-1，0，1），
設平面CDEF的一個法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=-x+z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，1），
∵AF⊥平面FBC，∴平面FBC的一個法向量$\overrightarrow{AF}$=（0，1，1），
設二面角B-FC-D的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AF}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{AF}|}$=$\frac{1}{2}$，
∴sinθ=$\sqrt{1-（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴二面角B-FC-D的正弦值是$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查二面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．