Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，S_n=2a_n-1．
（1）求{a_n}的通項a_n；
（2）求數列{na_n}的前n項和為T_n，求使T_n＞8n-7的最小正整數n．

Answer 1

考點：數列的求和,數列的函數特性

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）當n≥2時，利用a_n=S_n-S_n-1可得a_n=2a_n-1，利用等比數列的通項公式即可得出．
（2）na_n=n•2^n-1．利用“錯位相減法”可得數列{na_n}的前n項和為T_n，進而得出．

解答： 解：（1）當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-1-（2a_n-1-1），化為a_n=2a_n-1，
∴數列{a_n}是等比數列，通項a_n=1×2^n-1．
（2）∵na_n=n•2^n-1．
∴數列{na_n}的前n項和為T_n=1+2×2+3×2²+…+n•2^n-1，
∴2T_n=2+2×2²+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，
兩式相減可得：-T_n=1+2+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ=

2n-1

2-1

-n•2ⁿ=（1-n）•2ⁿ-1，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ+1．
T_n＞8n-7化為（n-1）•2ⁿ+8＞8n，
化為（n-1）（2ⁿ-8）＞0，
n=1，2，3時都不成立．
當n=4時成立，
∴使T_n＞8n-7的最小正整數n=4．

點評：本題考查了遞推式的意義、等比數列的通項公式及其前n項和公式、“錯位相減法”，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．