Question

6．雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的右焦點(diǎn)為F（c，0）．
（1）若雙曲線的一條漸近線方程為y=x且c=2，求雙曲線的方程；
（2）經(jīng)過原點(diǎn)且傾斜角為30°的直線l與雙曲線右支交于點(diǎn)A，且△OAF是以AF為底邊的等腰三角形，求雙曲線的離心率e的值．

Answer 1

分析 （1）雙曲線的一條漸近線方程為y=x且c=2，即可求出a，b的值，問題得以解決，
（2）先求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再代入雙曲線方程，結(jié)合結(jié)合c²=a²+b²，然后建立a，c的方程，從而求出雙曲線的離心率．

解答 解：（1）由題可知a=b，所以c=$\sqrt{2}$a=$\sqrt{2}$b=2，
則a=b=$\sqrt{2}$，
則雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，
（2）由題|OA|=c，又OA的傾斜角為30°，所以A（$\frac{\sqrt{3}}{2}$c，$\frac{1}{2}$c），
代入雙曲線方程有$\frac{3{c}^{2}}{4{a}^{2}}$-$\frac{{c}^{2}}{4^{2}}$=1，
結(jié)合c²=a²+b²，可得3c⁴-8a²c²+4a⁴=0，
解得e²=2或e²=$\frac{2}{3}$（舍去）
解得e=$\sqrt{2}$

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的離心率的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意雙曲線的性質(zhì)的合理運(yùn)用，是中檔題