Question

18．如圖，四棱錐P-ABCD的底面是菱形，∠DAB=60°，PA⊥AD，平面PAB⊥平面ABCD，AP=2，AD=2．
（I）求證：PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）已知M是PB的中點(diǎn)，求MC與平面AMB所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）根據(jù)線面角的定義作出對(duì)應(yīng)的平面角，結(jié)合三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 （I）證明：四棱錐P-ABCD的底面是菱形，∠DAB=60°，
∴△ABD是正三角形，
取AB的中點(diǎn)E，連接DE，
則DE⊥AB，
∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，
∴DE⊥平面PAB，
∵PA?平面PAB，
∴DE⊥PB，
即PA⊥DE，
∵PA⊥AD，AD∩DE=D，
∴PA⊥平面ABD，即PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）若M是PB的中點(diǎn)，連接ME，則ME∥PA，且ME=$\frac{1}{2}$PA=1，
延長(zhǎng)AB到BP，使AB=BP，連接CP，
則四邊形BPCD是菱形，取BP的中點(diǎn)F，連接CF，
則CF⊥BP，且CF∥DE，
則CF⊥平面PAB．
連接MF，則MF是CM在平面MAB上的射影，
即∠CMF是MC與平面AMB所成的角，
∵AD=2，∴BF=1，BC=2，CF=$\sqrt{3}$，
EF=EB+BF=1+1=2，
則MF=$\sqrt{M{E}^{2}+E{F}^{2}}$=$\sqrt{1+4}$=$\sqrt{5}$，
則tan∠CMF=$\frac{CF}{MF}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的判定以及線面角的計(jì)算，要將空間角轉(zhuǎn)化成平面角來解決．考查空間想象，轉(zhuǎn)化、計(jì)算能力．