Question

3．如圖，四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，BC=AB，△PBC為等邊三角形，平面PBC⊥平面ABCD．
（1）求證：AB∥平面PCD；
（2）求直線PA與平面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線面平行的判定定理證明CD∥AB，即可證明AB∥平面PCD；
（2）取BC的中點(diǎn)O，則PO⊥平面ABCD，則∠PAO是直線PA與平面ABCD所成的角，根據(jù)三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 （1）證明：∵底面ABCD是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，
∴CD∥AB，
∵CD?平面PCD，AB?平面PCD
∴AB∥平面PCD；
（2）∵△PBC為等邊三角形，
∴取BC的中點(diǎn)O，
則PO⊥BC，
∵平面PBC⊥平面ABCD，
∴PO⊥平面ABCD，
則OA是PA在底面ABCD的射影，
則∠PAO是直線PA與平面ABCD所成的角，
設(shè)BC=AB=1，
則PB=1，OB=$\frac{1}{2}$，
則PO=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，OA=$\sqrt{O{B}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{\frac{1}{4}+1}=\sqrt{\frac{5}{4}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
則tan∠PAO=$\frac{PO}{OA}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{5}}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，
即直線PA與平面ABCD所成角的正切值是$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線面平行的判斷以及線面所成角的求解，根據(jù)線面平行的判定定理以及線面角的定義作出平面角是解決本題的關(guān)鍵．