Question

已知函數(shù)f（x）=a-

1

|x|

．
（1）求證：函數(shù)y=f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
（2）若f（x）＜2x在（1，+∞）上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

證明：（1）當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f（x）=a-

1

x

，
設(shè)0＜x₁＜x₂，則x₁x₂＞0，x₂-x₁＞0．
f（x₁）-f（x₂）=（a-

1

x1

）-（a-

1

x2

）=

1

x2

 -

1

x1

=

x1-x2

x1x2

＜0．
∴f（x₁）＜f（x₂），
即f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)

（2）由題意a＜

1

x

+2x在（1，+∞）上恒成立，
設(shè)h（x）=2x+

1

x

，則a＜h（x）在（1，+∞）上恒成立．
可證h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增．
故a≤h（1），即a≤3，
∴a的取值范圍為（-∞，3]．