Question

設(shè)f（x）=log

1

2

(

1-ax

x-1

)為奇函數(shù)，a為常數(shù)，
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）證明：f（x）在（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增；
（Ⅲ）若對(duì)于[3，4]上的每一個(gè)x的值，不等式f（x）＞(

1

2

)x+m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用奇函數(shù)的定義找關(guān)系求解出字母的值，注意對(duì)多解的取舍．
（2）利用單調(diào)性的定義證明函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，關(guān)鍵要在自變量大小的前提下推導(dǎo)出函數(shù)值的大小．
（3）將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題，用到了分離變量的思想．

解答：解：（1）∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（-x）=-f（x）．
∴log

1

2

(

1+ax

-x-1

)=-log

1

2

(

1-ax

x-1

)?

1+ax

-x-1

=

x-1

1-ax

＞0?1-a2x2=1-x2?a=±1．
檢驗(yàn)a=1（舍），∴a=-1．
（2）由（1）知f(x)=log

1

2

(

x+1

x-1

)
證明：任取1＜x₂＜x₁，∴x₁-1＞x₂-1＞0
∴0＜

2

x1-1

＜

2

x2-1

?1+

2

x1-1

＜1+

2

x2-1

?0＜

x1+1

x1-1

＜

x2+1

x2-1

?log

1

2

(

x1+1

x1-1

)＞log

1

2

(

x2+1

x2-1

)
即f（x₁）＞f（x₂）．
∴f（x）在（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增．
（3）對(duì)[3，4]于上的每一個(gè)x的值，不等式f(x)＞(

1

2

)x+m恒成立，即f(x)-(

1

2

)x＞m恒成立．
令g(x)=f(x)-(

1

2

)x．只需g（x）_min＞m，
又易知g(x)=f(x)-(

1

2

)x在[3，4]上是增函數(shù)，
∴g(x)min=g(3)=-

9

8

．
∴m＜-

9

8

時(shí)原式恒成立．

點(diǎn)評(píng)：本題是以對(duì)數(shù)函數(shù)為載體考查函數(shù)基本性質(zhì)的小綜合題，用到了函數(shù)奇偶性，函數(shù)單調(diào)性的定義．恒成立問(wèn)題中求字母的取值范圍問(wèn)題往往通過(guò)分離變量轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題，體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想．