Question

已知函數(shù)f（x）=aln（x+1）+（x+1）²
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，若對(duì)任意x₁x_{2∈（-1，+∞）}，都有f（x₁-f（x₂）|≥3|x₁-x₂|，求a的取值范圍、

Answer 1

分析：根據(jù)負(fù)數(shù)沒(méi)有對(duì)數(shù)，得到函數(shù)f（x）的定義域，
（1）（i）當(dāng)a大于等于0時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)aln（x+1）與（x+1）²在x大于等于-1時(shí)都為增函數(shù)，所以單調(diào)f（x）也為增函數(shù)；（ii）當(dāng)a小于0時(shí)，求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)等于單調(diào)x的值，在函數(shù)定義域內(nèi)由x的值討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)進(jìn)而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，綜上，分a大于等于0和a小于0兩種情況寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）設(shè)x₁小于x₂，把所證的式子化簡(jiǎn)，得到f（x₂）-3x₂≥f（x₁）-3x₁，令F（x）=f（x）-3x，進(jìn)而單調(diào)F（x）在x大于-1為增函數(shù)，即導(dǎo)函數(shù)恒大于等于0，由導(dǎo)函數(shù)解出a大于等于一個(gè)二次函數(shù)，根據(jù)x的范圍求出二次函數(shù)的最大值，即可得到a的取值范圍．

解答：解：由題可知f（x）的定義域?yàn)椋?1，+∞），
（i）當(dāng)a≥0時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)f（x）₁=aln（x+1）和f（x）₂=（x+1）²在（-1，+∞）上均為增函數(shù)，
故f（x）=aln（x+1）+（x+1）²在（-1，+∞）上均為增函數(shù)；
（ii）a＜0時(shí)，f′（x）=

a

x+1

+2（x+1），
令f′（x）=0，得x₁=-1+

-a 2

，x₂=-1-

-a 2

（舍），
當(dāng)x變化時(shí)，f′（x）與f（x）的變化情況如下表：

由表可知，f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，-1+

-a 2

），f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-1+

-a 2

，+∞）
綜上，當(dāng)a≥0時(shí)，f（x）=aln（x+1）+（x+1）²在（-1，+∞）上均為增函數(shù)，
當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，-1+

-a 2

），f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-1+

-a 2

，+∞）；
（2）不妨設(shè)x₁＜x₂，則所證的式子化為：f（x₂）-f（x₁）≥3（x₂-x₁），即f（x₂）-3x₂≥f（x₁）-3x₁，
令F（x）=f（x）-3x=aln（x+1）+x²-x+1，則F（x）在（-1，+∞）上為增函數(shù)．
即F'（x）=

a

x+1

+2x-1≥0在（-1，+∞）上恒成立，因?yàn)閤＞-1，所以a≥-2x²-x+1在（-1，+∞）上恒成立，
而二次函數(shù)-2x²-x+1在（-∞，-

1

4

）上單調(diào)遞增，在（-

1

4

，+∞）上單調(diào)遞減，
故在（-1，+∞）上的最大值為-2（-(-

1

4

)2-（-

1

4

）+1=

9

8

，
所以a≥

9

8

，
故a的取值范圍是[

9

8

，+∞]．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，掌握導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值中的應(yīng)用，掌握不等式恒成立時(shí)所滿足的條件，考查了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，是一道中檔題．