Question

14．袋A和B中裝有若干個(gè)均勻的紅球和白球，從A中摸出一個(gè)紅球的概率是$\frac{1}{3}$，從B中摸出一個(gè)紅球的概率是P，若A、B兩個(gè)袋中球數(shù)之比1：2，將兩袋中的球裝在一起后，從中摸出一個(gè)紅球的概率是$\frac{4}{9}$．
（1）求P的值；
（2）從B中有放回地摸球，每次摸出一個(gè)，有3次摸到紅球即停止．
①求恰好摸5次停止的概率；
②記5次之內(nèi)（含5次）摸到紅球的次數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）設(shè)A中有m個(gè)球，根據(jù)A、B兩個(gè)袋子中的球數(shù)之比為1：2，則B中有2m個(gè)球．將A、B中的球裝在一起后，從中摸出一個(gè)紅球的概率是$\frac{4}{9}$，得到方程，即可求得概率．
（2）①由于每次從A中摸一個(gè)紅球的概率是$\frac{1}{2}$，摸不到紅球的概率為$\frac{1}{2}$，根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式可得恰好摸5次停止的概率．
②由題意ξ～（5，$\frac{1}{2}$），由此能求出隨機(jī)變量ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）設(shè)A中有m個(gè)球，A、B兩個(gè)袋子中的球數(shù)之比為1：2，則B中有2m個(gè)球，
∵將A、B中的球裝在一起后，從中摸出一個(gè)紅球的概率是$\frac{4}{9}$，
∴$\frac{\frac{1}{3}m+2mp}{3m}$=$\frac{4}{9}$，解得p=$\frac{1}{2}$．
（2）①恰好摸5次停止，故前4次摸到2次紅球，第5次摸到紅球，
∴p₁=${C}_{4}^{2}（\frac{1}{2}）^{2}（\frac{1}{2}）^{2}•\frac{1}{2}$=$\frac{3}{16}$．
②由題意ξ～（5，$\frac{1}{2}$），
∴P（ξ=0）=${C}_{5}^{0}（\frac{1}{2}）^{5}$=$\frac{1}{32}$，
P（ξ=1）=${C}_{5}^{1}（\frac{1}{2}）（\frac{1}{2}）^{4}$=$\frac{5}{32}$，
P（ξ=2）=${C}_{5}^{2}（\frac{1}{2}）^{2}（\frac{1}{2}）^{3}$=$\frac{10}{32}$，
P（ξ=3）=${C}_{5}^{3}（\frac{1}{2}）^{3}（\frac{1}{2}）^{2}$=$\frac{10}{32}$，
P（ξ=4）=${C}_{5}^{4}（\frac{1}{2}）^{4}（\frac{1}{2}）$=$\frac{5}{32}$，
P（ξ=5）=${C}_{5}^{5}（\frac{1}{2}）^{5}$=$\frac{1}{32}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3	4
P	$\frac{1}{32}$	$\frac{5}{32}$	$\frac{10}{32}$	$\frac{10}{32}$	$\frac{5}{32}$

E（ξ）=$0×\frac{1}{32}+1×\frac{5}{32}+2×\frac{10}{32}+3×\frac{10}{32}+4×\frac{5}{32}$+$5×\frac{1}{32}$=$\frac{19}{8}$．

點(diǎn)評 本題主要考查n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率，等可能事件的概率，屬于中檔題．