Question

已知曲線C：y²=4x，直線l交于A、B兩點(diǎn)，l過(guò)C的焦點(diǎn)，OAQB構(gòu)成平行四邊形，求Q得軌跡方程．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：先求出焦點(diǎn)的坐標(biāo)，討論直線l的斜率存在、不存在兩種情況，斜率存在設(shè)出直線l的方程，與拋物線方程聯(lián)立消去y，利用韋達(dá)定理求出x₁+x₂，利用直線方程求出y₁+y₂，利用平行四邊形對(duì)角線的性質(zhì)，求出點(diǎn)Q（x，y）的參數(shù)方程，消參數(shù)后即可得到點(diǎn)Q的軌跡方程．

解答： 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x，y），
由拋物線y²=4x得，焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，方程為x=1，中點(diǎn)就是F，此時(shí)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）；
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程可設(shè)為y=k（x-1）（k≠0），
由

y=k(x-1) y2=4x

得，k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
則△=x₁+x₂=（2k²+4）²-4k⁴=16k²+16＞0，
x₁+x₂=

2k2+4

k2

，
所以y₁+y₂=k（x₁-1）+k（x₂-1）=k（x₁+x₂）-2k=k×

2k2+4

k2

-2k=

4

k

，
∵OAQB構(gòu)成平行四邊形，
∴由平行四邊形的性質(zhì)，線段AB與線段OQ的交點(diǎn)是AB、OQ的中點(diǎn)，
則x₁+x₂=x，y₁+y₂=y，即

x= 2k2+4 k2 y= 4 k

，
消去k得，y²=4（x-2），驗(yàn)證知（2，0）在y²=4（x-2）上，
所以Q的軌跡方程是y²=4（x-2）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，參數(shù)方程的相關(guān)知識(shí)：設(shè)參、消參的相關(guān)技巧，綜合性較強(qiáng)，平行四邊形的對(duì)角線的交點(diǎn)的特征是解題的關(guān)鍵．