Question

20．給出下列命題：
（1）設(shè)f（x）與g（x）是定義在R上的兩個(gè)函數(shù)，若|f（x₁）+f（x₂）|≥|g（x₁）+g（x₂）|恒成立，且f（x）為奇函數(shù)，則g（x）也是奇函數(shù)；
（2）若?x₁，x₂∈R，都有|f（x₁）-f（x₂）|＞|g（x₁）-g（x₂）|成立，且函數(shù)f（x）在R上遞增，則f（x）+g（x）在R上也遞增；
（3）已知a＞0，a≠1，函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{x}，x≤1}\\{a-x，x＞1}\end{array}\right.$，若函數(shù)f（x）在[0，2]上的最大值比最小值多$\frac{5}{2}$，則實(shí)數(shù)a的取值集合為$\left\{{\frac{1}{2}}\right\}$；
（4）存在不同的實(shí)數(shù)k，使得關(guān)于x的方程（x²-1）²-|x²-1|+k=0的根的個(gè)數(shù)為2個(gè)、4個(gè)、5個(gè)、8個(gè)．則所有正確命題的序號(hào)為（1）、（2）、（4）．

Answer 1

分析 （1）利用|f（x₁）+f（x₂）|≥|g（x₁）+g（x₂）|恒成立，設(shè)x₂=-x₁，|f（x₁）+f（-x₁）|≥|g（x₁）+g（-x₁）|恒成立，根據(jù)f（x）是奇函數(shù)，即可得出結(jié)論；
（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義，即可得出結(jié)論；
（3）分0＜a＜1和a＞1時(shí)加以討論，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和一次函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合分段函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值的大小比較，求出函數(shù)在[0，2]上的最大值和最小值，由此根據(jù)題意建立關(guān)于a的方程，求出滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)a的值；
（4）對(duì)k的值分類(lèi)討論，將方程根的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成函數(shù)圖象的問(wèn)題，畫(huà)出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象可得結(jié)論．

解答 解：對(duì)于（1），∵|f（x₁）+f（x₂）|≥|g（x₁）+g（x₂）|恒成立，
令x₂=-x₁，則|f（x₁）+f（-x₁）|≥|g（x₁）+g（-x₁）|恒成立，
∵f（x）是奇函數(shù)，
∴|f（x₁）-f（x₁）|≥|g（x₁）+g（-x₁）|恒成立，
∴g（x₁）+g（-x₁）=0，
∴g（-x₁）=-g（x₁），
∴g（x）是奇函數(shù)，（1）正確；
對(duì)于（2），設(shè)x₁＜x₂，
∵f（x）是R上的增函數(shù)，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∵|f（x₁）-f（x₂）|＞|g（x₁）-g（x₂）|恒成立，
∴f（x₁）-f（x₂）＜g（x₁）-g（x₂）＜f（x₂）-f（x₁），
∴h（x₁）-h（x₂）=f（x₁）-f（x₂）+g（x₁）-g（x₂）＜f（x₁）-f（x₂）+f（x₂）-f（x₁），
∴h（x₁）-h（x₂）＜0，
∴函數(shù)h（x）=f（x）+g（x）在R上是增函數(shù)，（2）正確；
對(duì)于（3），①當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{x}，x≤1}\\{a-x，x＞1}\end{array}\right.$在[0，2]上的最大值為f（1）=a，最小值為f（0）=1或f（2）=a-2；
當(dāng)a-1=$\frac{5}{2}$時(shí)，解得a=$\frac{7}{2}$，此時(shí)f（2）=$\frac{3}{2}$＞1，滿(mǎn)足題意，
當(dāng)a-（a-2）=0時(shí)，2=0不滿(mǎn)足題意，∴a=$\frac{7}{2}$；
②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，在[0，1]上，f（x）=a^x是減函數(shù)；在（1，2]上，f（x）=-x+a是減函數(shù)，
∵f（0）=a⁰=1＞-1+a，∴函數(shù)的最大值為f（0）=1；
而f（2）=-2+a＜-1+a=f（1），所以函數(shù)的最小值為f（2）=-2+a，
因此，-2+a+$\frac{5}{2}$=1，解得a=$\frac{1}{2}$∈（0，1）符合題意；
綜上，實(shí)數(shù)a的取值集合為{$\frac{1}{2}$，$\frac{7}{2}$}，（3）錯(cuò)誤；
對(duì)于（4），關(guān)于x的方程（x²-1）²-|x²-1|+k=0可化為（x²-1）²-（x²-1）+k=0（x≥1或x≤-1）（Ⅰ）
或（x²-1）²+（x²-1）+k=0（-1＜x＜1）（Ⅱ）
①當(dāng)k=$\frac{1}{4}$時(shí)，方程（Ⅰ）有兩個(gè)不同的實(shí)根±$\frac{\sqrt{6}}{2}$，方程（Ⅱ）有兩個(gè)不同的實(shí)根±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即原方程恰有4個(gè)不同的實(shí)根；
②當(dāng)k=0時(shí)，原方程恰有5個(gè)不同的實(shí)根；

③當(dāng)k=$\frac{2}{9}$時(shí)，方程（Ⅰ）的解為±$\frac{\sqrt{15}}{3}$，±$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，方程（Ⅱ）的解為±$\frac{\sqrt{3}}{3}$，±$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
即原方程恰有8個(gè)不同的實(shí)根；
④當(dāng)k=-2時(shí)，方程化為（|x²-1|+1）（|x²-1|-2）=0，
解得|x²-1|=2或|x²-1|=-1（不合題意，舍去）；
所以x²-1=±2，
解得x²-1=2，
即x=±$\sqrt{3}$，方程有2個(gè)實(shí)數(shù)根；
所以存在不同的實(shí)數(shù)k，使得關(guān)于x的方程（x²-1）²-|x²-1|+k=0的根的個(gè)數(shù)為2個(gè)、4個(gè)、5個(gè)、8個(gè)，
命題（4）正確；
綜上，正確的命題是（1）、（2）、（4）．
故答案為：（1）（2）、（4）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，以及含有字母a的分段函數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了指數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)的單調(diào)性和分段函數(shù)等知識(shí)的應(yīng)用問(wèn)題，考查了轉(zhuǎn)化化歸和分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，是難題．