Question

11．已知$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$是非零不共線的向量，設(shè)$\overrightarrow{OC}$=$\frac{1}{r+1}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{r}{r+1}$$\overrightarrow{OB}$，定義點(diǎn)集M={K|$\frac{\overrightarrow{KA}•\overrightarrow{KC}}{|\overrightarrow{KA}|}$=$\frac{\overrightarrow{KB}•\overrightarrow{KC}}{|\overrightarrow{KB}|}$}，當(dāng)K₁，K₂∈M時(shí)，若對(duì)于任意的r≥2，不等式|$\overrightarrow{{K}_{1}{K}_{2}}$|≤c|$\overrightarrow{AB}$|恒成立，則實(shí)數(shù)c的最小值為$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{OC}$=$\frac{1}{r+1}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{r}{r+1}$$\overrightarrow{OB}$，可得A，B，C共線，再由向量的數(shù)量積的幾何意義可得KC為∠AKB的平分線，由角平分線的性質(zhì)定理可得$\frac{|KA|}{|KB|}$=$\frac{|AC|}{|BC|}$=r，可得K的軌跡為圓，求得圓的直徑與AB的關(guān)系，即可得到所求最值．

解答 解：由$\overrightarrow{OC}$=$\frac{1}{r+1}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{r}{r+1}$$\overrightarrow{OB}$，
可得A，B，C共線，
由$\frac{\overrightarrow{KA}•\overrightarrow{KC}}{|\overrightarrow{KA}|}$=$\frac{\overrightarrow{KB}•\overrightarrow{KC}}{|\overrightarrow{KB}|}$，
可得|$\overrightarrow{KC}$|cos∠AKC=|$\overrightarrow{KC}$|cos∠BKC，
即有∠AKC=∠BKC，
則KC為∠AKB的平分線，
由角平分線的性質(zhì)定理可得$\frac{|KA|}{|KB|}$=$\frac{|AC|}{|BC|}$=r，
即有K的軌跡為圓心在AB上的圓，
由|K₁A|=r|K₁B|，可得|K₁B|=$\frac{|AB|}{r+1}$，
由|K₂A|=r|K₂B|，可得|K₂B|=$\frac{|AB|}{r-1}$，
可得|K₁K₂|=$\frac{|AB|}{r+1}$+$\frac{|AB|}{r-1}$=$\frac{2r}{{r}^{2}-1}$|AB|
=$\frac{2}{r-\frac{1}{r}}$|AB|，
由r-$\frac{1}{r}$在r≥2遞增，可得r-$\frac{1}{r}$≥2-$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
即有|K₁K₂|≤$\frac{4}{3}$|AB|，
即$\frac{|\overrightarrow{{K}_{1}{K}_{2}}|}{|\overrightarrow{AB}|}$≤$\frac{4}{3}$，由題意可得c≥$\frac{4}{3}$，
故c的最小值為$\frac{4}{3}$．
故答案為：$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量共線定理的運(yùn)用，考查向量的數(shù)量積的幾何意義，以及角平分線的性質(zhì)定理，同時(shí)考查函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，屬于中檔題．