Question

2．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F．短軸的一個(gè)端點(diǎn)為M，直線l：3x-4y=0交橢圓E于A，B兩點(diǎn)．若|AF|+|BF|=4，點(diǎn)M到直線l的距離不小于$\frac{4}{5}$，則橢圓E的離心率的取值范圍是$（{0，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}]$．

Answer 1

分析 如圖所示，設(shè)F′為橢圓的左焦點(diǎn)，連接AF′，BF′，則四邊形AFBF′是平行四邊形，可得4=|AF|+|BF|=|AF′|+|BF|=2a．取M（0，b），由點(diǎn)M到直線l的距離不小于$\frac{4}{5}$，得到關(guān)于b的不等式，求出b的范圍．再利用離心率計(jì)算公式e=$\frac{c}{a}$即可得出．

解答 解：如圖所示，
設(shè)F′為橢圓的左焦點(diǎn)，連接AF′，BF′，則四邊形AFBF′是平行四邊形，
∴4=|AF|+|BF|=|AF′|+|AF|=2a，∴a=2．
取M（0，b），∵點(diǎn)M到直線l的距離不小于$\frac{4}{5}$，
∴$\frac{|4b|}{\sqrt{{3}^{2}{+4}^{2}}}$≥$\frac{4}{5}$，解得b≥1．
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$≤$\sqrt{1-\frac{1}{{2}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴橢圓E的離心率的取值范圍是（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]．
故答案為：$（{0，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}]$．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．