Question

14．橢圓M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）上有一點P（x₀，y₀），其中${x}_{0}^{2}$=$\frac{{a}^{2}{c}^{2}-{a}^{2}^{2}}{{a}^{2}-^{2}}$，求離心率的范圍．

Answer 1

分析 由橢圓上點P的橫坐標的值，得到關于a，b，c的不等式，求出e的范圍，再與0＜e＜1取交集得答案．

解答 解：∵P（x₀，y₀）是橢圓：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）上的點，
∴0≤${x}_{0}^{2}$=$\frac{{a}^{2}{c}^{2}-{a}^{2}^{2}}{{a}^{2}-^{2}}$≤a²，
即$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}{c}^{2}-{a}^{2}^{2}≥0}\\{\frac{{a}^{2}{c}^{2}-{a}^{2}^{2}}{{a}^{2}-^{2}}≤{a}^{2}}\end{array}\right.$，解得：$e≥\frac{\sqrt{2}}{2}$．
又0＜e＜1，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}≤e＜1$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，關鍵是把橢圓上點的橫坐標轉化為含有a，b，c的不等式，是基礎題．