Question

5．在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ-2sinθ，直線l的極坐標(biāo)方程為2aρcosθ+2ρsinθ=1（a為常數(shù)）．
（1）求直線l與圓C的普通方程；
（2）若直線l分圓C所得兩弧長度之比為1：2，求實數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （1）由ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y，能求出直線l的普通方程和圓C的普通方程．
（2）由直線l分圓C所得兩弧長度之比為1：2，得到圓心C（2，-1）到直線2ax+2y-1=0的距離為半徑一半，由此能求出a．

解答 解：（1）∵直線l的極坐標(biāo)方程為2aρcosθ+2ρsinθ=1（a為常數(shù)），
∴直線l的普通方程為2ax+2y-1=0．
∵圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ-2sinθ，
∴ρ²=4ρcosθ-2ρsinθ，
∴圓C的普通方程為：x²+y²-4x+2y=0．
（2）∵圓C：x²+y²-4x+2y=0的圓心C（2，-1），半徑r=$\frac{1}{2}\sqrt{16+4}$=$\sqrt{5}$，
直線l分圓C所得兩弧長度之比為1：2，
∴直線l截圓C所得的弦|AB|所對圓心角為120°，
∴圓心C（2，-1）到直線2ax+2y-1=0的距離為半徑一半，
即d=$\frac{|4a-2-1|}{\sqrt{4{a}^{2}+4}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，解得a=$\frac{2}{11}$或a=2．

點評 本題考查直線與圓的普通方程的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式的合理運用．