Question

20．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若a=2，b-c=1，△ABC的面積為$\sqrt{3}$，則$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=$-\frac{13}{4}$．

Answer 1

分析 a=2，b-c=1，△ABC的面積為$\sqrt{3}$，可得$\frac{1}{2}bc$sinA=$\sqrt{3}$，2²=b²+c²-2bccosA，解得sinA，cosA，利用sin²A+cos²A=1，解得c，b，再利用數(shù)量積運算性質(zhì)即可得出．

解答 解：∵a=2，b-c=1，△ABC的面積為$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{2}bc$sinA=$\sqrt{3}$，2²=b²+c²-2bccosA，
∴sinA=$\frac{2\sqrt{3}}{c（c+1）}$，cosA=$\frac{3-2{c}^{2}-2c}{2c（c+1）}$，
∴sin²A+cos²A=$\frac{12}{{c}^{2}（c+1）^{2}}$+$\frac{（3-2{c}^{2}-2c）^{2}}{4{c}^{2}（c+1）^{2}}$=1，
解得c=$\sqrt{5}$-$\frac{1}{2}$，b=$\sqrt{5}$+$\frac{1}{2}$，cosA=$-\frac{13}{19}$．
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=cbcosA=（5-$\frac{1}{4}$）×$（-\frac{13}{19}）$=-$\frac{13}{4}$．
故答案為：-$\frac{13}{4}$．

點評 本題考查了余弦定理、三角形面積計算公式、平方關(guān)系、數(shù)量積運算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．